Trigonometria no Triângulo Retângulo

Um triângulo é retângulo quando um dos seus ângulos é reto, ou seja, possui 90º. Triângulos são vistos normalmente no nosso dia a dia em pontes, detalhes de casas, brinquedos, instrumentos e etc., entretanto nem apenas coisas matérias são representadas por triângulos, eles também representam coisas abstratas.

Por exemplo, um veiculo uniformemente acelerado tem sua velocidade crescendo igualmente a cada instante, se temos uma linearidade, temos então uma reta, que posta no eixo cartesiano pode formar um triângulo retângulo, a área desse triângulo é, nesse caso, a velocidade média do corpo.

Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras irá nos trazer informações importantes para o entendimento dos triângulos. Afirma que o quadrado da hipotenusa(lado maior) é igual a soma dos quadrados dos catetos(lados menores):

A classificação dos catetos depende da posição de referência do ângulo.

Proporções

Existem três relações entre os lados de um triângulo que serão fundamentais para desenvolver quaisquer outras relações, são elas: seno, cosseno e tangente.

sen α = \frac{co}{h}=\frac{co}{\sqrt{co^2+ca^2}}

cos α = \frac{ca}{h}=\frac{ca}{\sqrt{co^2+ca^2}}

tan α = \frac{co}{ca}

Seno

O seno é a razão entre o lado oposto ao ângulo e a hipotenusa e cresce proporcionalmente a altura, então tem valor mínimo em 0 e 180º , pois a altura é zero, e tem seu módulo máximo a 90º e 270º, pois esses ângulos se encontram exatamente no eixo y. Seus valores variam de 0 a 1, pois o cateto oposto pode ir de 0 até um valor igual a hipotenusa.

Cosseno

O cosseno é a razão entre o lado adjacente ao ângulo e a hipotenusa e cresce proporcionalmente ao comprimento, então tem valor mínimo em 90º e 270º , pois seu valor no eixo x é zero, e tem seu módulo máximo a 0º e 180º, pois esses ângulos se encontram exatamente no eixo x. Seus valores variam de 0 a 1.

Tangente

A tangente é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente ao ângulo e cresce proporcionalmente a altura e inversamente ao comprimento. Tem seu valor mínimo coincidindo com o do seno, ou seja, em 0º e 180º. Diferente das outras relações, a tangente não tem ponto máximo, pois a medida que o cosseno tende a 0, a tangente tende ao infinito, pois o seno seria dividido por um número cada vez menor.

Relações entre Seno, Cosseno e Tangente

Existem um conjunto de relações que irão facilitar o cálculo de senos, cossenos e tangentes mais complicadas ou que não apresentam alguma certa variável.

(a) Relação Fundamental do Triângulo Retângulo

$sen^2 α+cos^2 α = 1$ , $0º < α < 90º$

Demonstração:

sen^2 α+cos^2 α = \frac{co^2}{h^2} + \frac{ca^2}{h^2}

= \frac{co^2+ca^2}{h^2}=1

(b) Se dois ângulos são complementares, então a soma de dois ângulos α e β é igual a 90º, consequentemente o sen α = cos β e tg α = 1/tg β.

Na figura, enquanto o cateto é adjacente a α é ao mesmo tempo oposto a β, com isso podemos dizer que o cosseno α é igual ao seno de β.

tgα=\frac{co}{ca}=\frac{1}{\frac{ca}{co}}

tgα=\frac{1}{tgβ}

Essa é igualdade é verdadeira pois o cateto oposto de um é o cateto adjacente do outro, ou seja, as tangentes são inversas.

(c) Se 0 < α < 45º, então sen 2α = 2(senα)(cosα)

A sua demonstração é feita encontrando a área de um triangulo isóceles de duas maneiras diferentes, onde uma leva em consideração o sen 2α para encontrar um dos lados.

Em um dos triângulos é usado AC como altura, já no outro, EB.

Enquanto BE = sen 2α, BD = 2sen α

Ângulos Mais Recorrentes (30º,45º,60º)

Começaremos pelo ângulo de 45º, pois os ângulos de 30º e 60º partem do mesmo princípio.

Ângulo de 45º

Para que haja um ângulo de 45º é preciso ter uma base igual a altura, para que esse triângulo retângulo seja metade de um quadrado. Pelo teorema de Pitágoras temos: