A radiciação representa a operação inversa da potenciação, porém, para resolver a diversa gama de problemas existentes, teremos que ver os dois como um só . É o que veremos ao estudar as propriedades da radiciação.
Vamos aos elementos da radiciação:
Ou seja, dizemos que o resultado é a raiz enésima de um número real, por exemplo, 3 é a raiz quadrada de 9, onde 9 é o radicando.
1º Propriedade - Expoente Fracionário
Em um expoente fracionário, o denominador é o índice presente na raiz, enquanto o numerador continua sendo o número de termos multiplicados, ou melhor, a potência, o que pode ser visto abaixo:
O que nos leva ao fato de que todo número tem um expoente que pode ser escrito em forma de fração, ou seja:
Resumindo, uma raiz representa uma potência com expoente fracionário.
Potência com Expoente Fracionário Exercícios Resolvidos
2º Propriedade - Multiplicação de Raízes
A segunda propriedade nos diz que multiplicações de raízes de índices idênticos são iguais a raiz do produto dos radicandos, ou seja:
Exemplo
Já que os dois termos possuem o mesmo índice, ou seja, 3, podemos multiplicar os números de dentro da raiz. Fazendo 3\cdot 9=27 e achando como resultado a raiz cúbica de 27 que é igual a 3, pois 3\cdot 3 \cdot 3=27.
3º Propriedade - Divisão de Raízes
A terceira propriedade é uma extensão da segunda. Nessa, vemos que a divisão também é válida, em outras palavras, a divisão de raízes de mesmo índice é igual a raiz da divisão entre os radicandos.
Já que possuem o mesmo índice, podemos unir os dois números dentro de uma só raiz, encontrando raiz quadrada de 4, que é igual a 2.
Lembrando, quando o índice está em branco quer dizer que ele é igual a 2.
4º Propriedade - Potência de Raiz
Quando há uma potência de potência devemos multiplicar os expoentes, o mesmo vale para as raízes, basta termos em mente que uma raiz é um expoente fracionário.
Sendo assim, podemos resolver a potência de uma raiz da seguinte forma:
Multiplicamos \frac{1}{a} por b devido a característica que já discutimos. Assim dizendo, elevar uma raiz a um dado número é igual a elevar seu radicando a esse número.
Na mesma perspectiva, resolvemos uma raiz de raiz. Porém, iremos multiplicar frações.
Em uma raiz de raiz, basta multiplicarmos os índices.
Exemplo:
5º Propriedade - Simplificação de Raízes
Através da manipulação dos expoentes, que vai consistir basicamente na multiplicação ou divisão pelo mesmo número, podemos simplificar as expressões. Vejamos como:
Ao multiplicar o expoente por b/b estamos multiplicando por 1, que é o elemento neutro da multiplicação, logo, o valor do termo continua igual.
Fatoração de Raízes
Partindo das propriedades da radiciação, mais especificamente da segunda propriedade, podemos transformar uma raiz em um produto de um dado número por uma raiz, o que irá permitir que a operação matemática se desenvolva. O que nos vamos fazer nesse tópico é, antes de tudo, fatorar o radicando, ou seja, dividi-lo em multiplicações de fatores primos. Por exemplo, o número 8 pode ser reescrito como 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2³, o número 20 pode ser divido em 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 2² ⋅ 5. Agora, iremos colocá-los em raízes.
usando da segunda propriedade, iremos dividir esse termo no produto de duas raízes.
A partir de agora, vemos que o índice é igual ao expoente do radicando, portanto, 2/2 = 1, dessa forma:
ou
Utilizando do mesmo processo para fatorar \sqrt{20}.
Propriedades dos Radicais Exercícios
1º Questão
Resolva aplicando as propriedades dos radicais.
a) \sqrt[3]{25}\cdot \sqrt{25}\cdot \sqrt[6]{25}
b) \sqrt[3]{\sqrt{15625}}
Resolução
a) \sqrt[3]{25}\cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt[6]{25}
b) \sqrt[3]{\sqrt{15625}}
2º Questão
Determine o valor das raízes quadradas resultantes e encontre o valor de x.
a) x=35(\sqrt {8})^4
b) x=10(\sqrt {16} \cdot \sqrt {4} \cdot \sqrt{2})
Resolução
Letra (a)
Como já foi visto a partir da terceira propriedade, o índice presente na raiz representa o denominador de um expoente fracionário, portanto, através das propriedades da potenciação, podemos multiplicar os expoentes, ou seja, \frac{1}{2}\cdot 4=2.
Letra (b)
Utilizando uma calculadora científica para resolver a raiz:
3º Questão
(Mack) O valor de \sqrt{2} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{18} é igual a:
(A) \sqrt{56}
(B) \sqrt{108}
(C) \sqrt{2} + 54
(D) \sqrt{6} + 6
(E) \sqrt{2} \cdot (1+\sqrt{3})
Resolução
Fatorando \sqrt{18}, temos:
Isolando \sqrt{2} :
Alternativa correta – Letra E
4º Questão
(PUC) Simplificando \sqrt{\frac{75}{12}} obtemos:
(A) \sqrt{\frac{5}{2}}
(B) \frac{5}{3}
(C) \sqrt{\frac{5}{3}}
(D) \frac{5}{2}
Resolução
Fatorando 75 e 12:
Partindo da propriedade da divisão de raízes:
Alternativa correta – Letra D
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática Bianchini 9º ano. 1º ed . São Paulo: Moderna, 2016.
