Sabendo-se que a moda, a mediana e a média aritmética das alturas desses alunos são, respectivamente, 173 cm, 174,5 cm e 175,5 cm, pode-se concluir que a altura do aluno Ferreira é igual, em centímetros, a
(A) 177
(B) 178
(C) 179
(D) 180
(E) 182
Resolução
Sabendo que a moda representa o valor dos termos que mais se repetem, q = 173.
Sendo a mediana dada, quando há um número par de termos, pela média entre os dois termos centrais quando colocados em ordem.
Mediana=2q+p
174,5=2173+p
p=176
Média
Meˊdia=63⋅173+176+2m
175,5=63⋅173+176+2m
6⋅175,5=3⋅173+176+2m
1053=695+2m
2m=1053−695
m=2358
m=179
Alternativa correta – Letra C
Questão 73
O policiamento de um grande evento musical deteve 100 pessoas. Sabe-se que 50 pessoas foram detidas por furto de celulares, que 25 pessoas detidas são mulheres, e que 20 mulheres foram detidas por furto de celulares. Para a elaboração do relatório, o PM Jurandir montou uma tabela e inseriu esses dados, para depois completá-la.
Tomando-se ao acaso uma das pessoas detidas por outros motivos, a probabilidade de que ela seja do sexo masculino é de
(A) 90%
(B) 75%
(C) 50%
(D) 45%
(E) 30%
Resolução
Preenchendo a tabela, vemos que o número de mulheres presas por outro motivos é igual a 5 e que o número de homens presos por furto de celulares foi de 30, pois o número total de pessoas presas por furto de celular foi de 50 e que 20 foram mulheres. Sabendo que ao todo 100 pessoas foram detidas, o número de homens detidos por outros motivos foi de:
Houtros+20+30+5=100
Houtros=45
A probabilidade será dada pela razão entre o valor que acabamos de encontrar e o número total de pessoas detidas por outros motivos.
P=45+545
P=5045
P=0,9
P=90
Questão 74
Planejando uma operação de policiamento ostensivo, um oficial desenhou em um mapa três círculos concêntricos de centro P, conforme mostrado na figura.
Sabe-se que as medidas dos raios r,r1er2 estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Se r+r1+r2=52cm, e r.r2=144cm, então r+r2 é igual, em centímetros, a
(A) 36
(B) 38
(C) 39
(D) 40
(E) 42
Resolução
Pelo conceito de progressão geométrica, podemos escrever esses três termos da seguinte forma:
r,rq,rq2
Pela segunda equação que nos é dada:
r⋅r2=144
r⋅rq2=144
r2q2=144
Tomando raiz quadrada em ambos os lados
rq=12
r=q12
r+r1+r2=52
r+rq+rq2=52
r(1+q+q2)=52
q12(1+q+q2)=52
Multiplicando q em ambos os lados:
12(1+q+q2)=52q
12q2–40q+12=0
Dividindo ambos os lados por 4:
3q2–10q+3=0
Usando bhaskara para encontrar as raízes:
q=2⋅310±102−4(3)(3)
q=610±100−36
q=610±64
q=610±8
q1=610+8=3
q2=610−8=31
Como a pg é crescente, a única raiz que nos serve é 3. Agora, basta encontrarmos r e fazermos as devidas substituições.
r=q12
r=4
Equação Final
r+r2=r+rq2
4+4⋅32=40
Questão 75
A figura mostra um canteiro de formato circular centralizado em um jardim representado pelo quadriculado ABCD, no qual a região de cada quadradinho tem área de \frac{1}{π}m^2[\katex].
A área do canteiro de formato circular é igual, em metros quadrados, a
(A) 3,1
(B) 4
(C) 4,2
(D) 4,5
(E) 5
Resolução
Se cada quadrado possui área igual a π1m2, seu lado mede a raiz quadrada desse valor, portanto, l=π1m. Pela figura, vemos que o raio corresponde a dois quadrinhos, logo, o raio do círculo mede r=2⋅π1m. Pela fórmula da área do círculo, temos:
A=πr2
A=π(π2)2
A=π⋅π4
A=4m2
Alternativa correta – Letra B
Questão 76
Policiais de certo batalhão foram escalados para fazer uma busca minuciosa em uma região com o formato do paralelogramo ABCD, sendo essa região dividida em duas sub-regiões por uma grande avenida, indicada na figura pelo segmento AP.
O perímetro da sub-região determinada pelo triângulo ABP é igual, em quilômetros, a
(A) 162
(B) 123
(C) 8+83
(D) 8+13
(E) 8+43
Resolução
Sabendo que a soma dos quatros ângulos internos de um paralelogramo é igual a 360º, que os ângulos opostos são congruentes e que seus lados opostos são paralelos, é possível resolver a questão. Os ângulo interno não conhecido é de 30º, como se vê abaixo:
Utilizando a lei dos senos, é possível encontrar os valores dos demais lados.
BPsenA^=BAsenP^
4kmsen30º=BAsen30º
BA=4km
—
4kmsen30º=APsen120º
AP=sen30ºsen120º⋅4km
AP=2123⋅4km
AP=43
Portanto, o perímetro do triângulo é
P=43+4+4
P=43+8
Alternativa correta – Letra E
Questão 77
A função f: R → R, dada por f(x) = ax²– 16x + c, tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, e sabendo-se que c = a, é correto afirmar que o par ordenado que representa o vértice dessa parábola é
(A) (–2,0)
(B) (–1,0)
(C) (1,0)
(D) (2,0)
(E) (3,0)
Solução
Pelas relações de Girard, encontramos que a soma das raízes é igual a:
x1+x2=−ab
2x=−a−16
x=a8
Substituindo x na equação e igualando c a a, temos:
f(x)=ax2−16x+c
0 =a(a8)2−16(a8)+a
0 =aa264−a128+a
Multiplicando ambos os lados por a.
a2=–64+128
a2=64
a=±8
Sabendo que a função apresenta valor máximo, o valor de a é negativo, logo:
a=−8
Pela fórmula do x do vértice:
xv=2a−b
xv=−1
Alternativa correta – Letra B
Questão 78
Em um sistema cartesiano ortogonal, observa-se um triângulo isósceles BPP’, cuja base situa-se no eixo x.
Se os pontos P e P’ distam 5 unidades de B(6,3), então a medida da base desse triângulo é igual a
(A) 12
(B) 10
(C) 8
(D) 6
(E) 4
Resolução
Dividindo o triângulo isósceles em dois triângulos retângulos, é possível encontrar o cateto que falta e consequentemente a base.
b=52−32
b=25−9
b=16
b=4
Logo, a base total é:
B=2⋅4=8
Alternativa correta – Letra B
Questão 79
O novo recipiente para sabonete líquido desenvolvido por certa empresa, para ser fixado na parede, tem a forma de um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero de lado a:
Sabe-se que a medida da altura do prisma, indicada por h na figura, é igual à medida da altura do triângulo da base. Se a=63, então o volume dessa embalagem é igual, em centímetros cúbicos, a
(A) 3243
(B) 2433
(C) 2163
(D) 2162
(E) 1622
Resolução
Sabendo que o volume da embalagem é igual ao produto entre a área da base e a altura, usaremos as seguintes fórmulas
Área da base = Área do triângulo equilátero
Ab=4l23
Ab=4(63)23
Ab=436⋅33
Ab=41083
Altura da embalagem = Altura do triângulo equilátero
h=2l3
h=2633
h=26⋅3
h=218
h=9
Volume da embalagem
V=h⋅Ab
V=9⋅41083
V=2433
Alternativa correta – Letra B
Questão 80
A tabela, com dados relativos à cidade de São Paulo, compara o número de veículos da frota, o número de radares e o valor total, em reais, arrecadado com multas de trânsito, relativos aos anos de 2004 e 2013:
Se o número de radares e o valor da arrecadação tivessem crescido de forma diretamente proporcional ao crescimento da frota de veículos no período considerado, então em 2013 a quantidade de radares e o valor aproximado da arrecadação, em milhões de reais (desconsiderando-se correções monetárias), seriam, respectivamente,
(A) 336 e 424
(B) 336 e 426
(C) 334 e 428
(D) 334 e 430
(E) 330 e 432
Resolução
Ao dizer que o número de radares e o valor da arrecadação são diretamente proporcionais, dizemos que eles apresentam crescimentos proporcionais ao da frota de veículos, logo, as razões entre os valores passados e futuros são iguais.
Radares
7,55,8=R260
R=5,8260⋅7,5
R=336
Arrecadação
7,55,8=A328
A=424
Alternativa correta – Letra A
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