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Análise Combinatória

 

Antes de avançarmos no estudo da análise combinatória, precisamos compreender o que significa o Princípio Fundamental da Contagem. Ele se baseia em afirmar que o número final de possibilidades para um certo acontecimento é o produto entre as possibilidades de cada etapa. Vamos a um exemplo prático!

Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas por questão?

Pensemos em quantas possibilidade de reposta nós temos para cada questão.

 

(a) (b) (c) (d) (e)

(a) (b) (c) (d) (e)

 

Pensando apenas em duas questões, poderíamos fazer 25 marcações diferentes, pois, escolhendo uma das 5 primeiras letras para a primeira questão, teríamos também que escolher uma outra entre 5. Posto isso, as possibilidades seriam:

 

(a,a) (a,b) (a,c) (a,d) (a,e) 

(b,a) (b,b) (b,c) (b,d) (b,e) 

(c,a) (c,b) (c,c) (c,d) (c,e) 

(d,a) (d,b) (d,c) (d,d) (d,e) 

(e,a) (e,b) (e,c) (e,d) (e,e) 

 Seguindo esse raciocínio, podemos dizer que o número total de gabaritos diferentes, caso se marque todas as 10 questões, é de:

 

5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 9.765.625

 Cada abordagem que daremos ao princípio fundamental da contagem no decorrer do texto dependerá do cenário onde ele será aplicado. Ao tratar do conceito de permutação, arranjo e combinação, deixo claro que são conceitos complementares, onde cada um surge a partir de um aumento na complexidade do problema.

O exemplo acima foi retirado do livro A Matemática do Ensino Médio Volume 4. Clique aqui para conferir.

Permutação

 Chamamos de permutação, a contagem que se dá excluindo um elemento até que a última possibilidade permita apenas um, ou seja, sem permitir repetições. Por exemplo, de quantas maneiras diferentes poderíamos colocar 3 pessoas em ordem em um banco de praça? Inicialmente, podemos escolher qualquer uma das 3 para ocupar o primeiro lugar, restando duas para o segundo e, por fim, apenas uma para o último. Utilizando o Princípio Fundamental da Contagem, temos:

 

3 * 2 * 1 = 6

 Portanto, poderíamos dispor essas pessoas de 6 maneiras diferentes.

Generalizando o problema, chegamos ao conceito de fatorial, que é o produto entre todos os número iguais ou menores que um dado número. Dessa forma, podemos dizer que o fatorial representa uma permutação.

Arranjo

Como já foi discutido, cada etapa representa um aumento na complexidade do problema, sendo assim, a diferença entre um arranjo e uma permutação está no fato de que em um arranjo não usamos todos os elementos ao mesmo tempo para formar uma possibilidade. Por exemplo, tomando novamente a situação anterior, de quantas maneiras diferentes poderíamos dispor 4 pessoas em apenas 2 lugares? O primeiro lugar poderia ser ocupado por 4 pessoas, enquanto que o segundo lugar poderia ser ocupado por apenas 3. Usando o princípio:

 

4 * 3 = 12

Ou seja, de 12 maneiras diferentes.

Pensando no conceito de fatorial para a criação de uma fórmula genérica, podemos dizer que um arranjo é a razão entre o fatorial do número de elementos que o compõem e a diferença entre esse número e a quantidade de espaços onde eles serão alocados:

Na análise combinatória a fórmula do arranjo simples, que é uma permutação que não engloba todos os elementos.

Tratemos do problema anterior a partir da fórmula.

Como se Lê

Ao falar de arranjos, dizemos que existem n elementos sendo arranjados de p a p, sendo que n é sempre um número maior ou igual a p, portanto, um agrupamento de n elementos arranjados de n a n representa uma permutação

Considera-se 0! = 1

Combinação

Diferente da permutação e, consequentemente, do arranjo, na combinação não se contabiliza repetições. Por exemplo, tomando novamente a questão dada anteriormente, de quantas formas é possível agrupar 4 pessoas em 2 bancos sem que a ordem importe?

Vamos denominar essas pessoas como as seguintes letras: a, b, c, d

(a,b) – (b,a)

(a,c) – (c,a)

(a,d) – (d,a)

(c,b) – (b,c)

(c,d) – (d,c)

(b,d) – (b,d)

Existem 12 possibilidades. Deixando de considerar a ordem, considerando apenas os elementos que compõem o subgrupo, temos apenas 6 possibilidades, ou seja, o número caiu pela metade. Mas como seria se o número de lugares no banco fosse igual a 3?

(a,b,c) – (a,c,b) – (c,a,b) – (c,b,a) – (b,a,c) – (b,c,a)

Teríamos 6 possibilidades onde os mesmo elementos aparecem, portanto, ao tratar como uma combinação, teríamos apenas 1 possibilidade, ou seja, teríamos que dividir o número de combinações encontradas no arranjo por 6. O que acabamos de fazer foi encontrar uma permutação, que descreve um aspecto do nosso problema, e então dividir o número de arranjos por ela. De forma genérica, chegamos a:

Na análise combinatória a fórmula da "combinação", que pode ser definida como a razão entre um arranjo e uma permutação.

Como se Lê

Lê-se: combinações de n elementos tomados p a p. Ao analisarmos a fórmula, podemos dizer, a partir da divisão, que uma combinação representa o número de subconjuntos que possuem os mesmos elementos, já que a permutação presente no denominador indica a quantidade de elementos desses subconjuntos.

Referências

DANTE, Luiz Roberto. Matemática. 1.ed .São Paulo: Ática:2005

LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio: Enunciados e Soluções de Exercícios. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2016.

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