Preparatório ENEM

Compre clicando no link ou utilizando o cupom "ALEMDOSCALCULOS" e tenha acesso ao curso vitalício por apenas R$75,00.

Áreas de Polígonos no Plano Cartesiano

Trataremos das diferentes formas de calcular as áreas de polígonos no plano cartesiano a partir do conceito de determinante aplicado à área de triângulos, ou seja, calcularemos os demais polígonos os dividindo em triângulos.

Área de uma Região Triangular

Ao calcular a área de um triângulo em geometria plana, buscamos conhecer a base do triângulo e a sua altura. Em geometria analítica, podemos encontrar esses dados a partir das coordenadas dos três vértices. Vamos tomar como exemplo o triângulo abaixo.

Áreas de polígonos. região triângular

Sabendo que as coordenadas dos pontos A, B e C são, respectivamente, (-7,9), (1,8) e (-3,1), podemos calcular a distância entre dois desses pontos e tomar como base do nosso triângulo. Tomaremos os pontos A e C.

Distância entre A e C

d_{AC}=\sqrt{{(-7-(-3))}^2+{(9-1)}^2}

d_{AC}=\sqrt{{(-4)}^2+8^2}

d_{AC}=\sqrt{16+64}

d_{AC}=\sqrt{80}

d_{AC}=4\sqrt{5}

Agora precisamos encontrar a altura correspondente, ou seja, o ponto do segmento \overline{AC} , ponto S, que ao ser ligado ao vértice B forma um ângulo de 90º. Para isso, precisamos encontrar a reta que possui o segmento \overline{AC} .

Reta r

m= \frac{9-1}{-7-(-3)}

m= \frac{8}{-4}

m= -2

(y-9) = m(x-x_0)

(y-9) = -2(x+7)

y-9 = -2x-14

y = -2x-14+9

y = -2x-5

Agora, precisamos encontrar a reta que possui o segmento  \overline{SB} . 

Reta t

m= \frac{1}{2}

(y-8) = \frac{1}{2}(x-1)

(y-8) = \frac{x}{2}-\frac{1}{2}

y = \frac{x}{2}-\frac{1}{2}+8

y = \frac{x}{2}+\frac{15}{2}

Resolvendo o sistema formado pelas duas equações da reta a fim de encontrar o ponto S, temos:

\begin{cases} -y = \frac{x}{2}+\frac{15}{2} \\ y = -2x-5 \end{cases}

Chegamos a conclusão de que o ponto S, a intersecção entre as duas retas, tem coordenadas (5,-5). Agora, basta calcular a distância entre o ponto S e o ponto B, que é a altura do nosso triângulo.

h = \sqrt{{(8-5))}^2+{(1-(-5))}^2}
h = \sqrt{{3}^2+{6}^2}
h = \sqrt{9+36}
h = \sqrt{45}

Área do triângulo

A = \frac{4\sqrt{5}\cdot \sqrt{45}}{2}

A = 60

Resolvendo o sistema formado pelas duas equações da reta a fim de encontrar o ponto S, temos:

Áreas de Polígonos por Determinante

Através do conceito de determinante, podemos encontrar com muita mais facilidade a área de um triângulo. Posteriormente, para encontrar a área dos demais polígonos, iremos dividi-los em triângulos.

Área do triângulo

A_t = \frac{1}{2} |D|

em que D = \begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1\\x_3 & y_3 & 1\end{vmatrix}

Calculando o valor da área do triângulo apresentado no tópico anterior através da determinante, temos:

em que D = \begin{vmatrix}-7 & 9 & 1 \\1 & 8 & 1\\-3 & 1 & 1\end{vmatrix} = 60

A_t = \frac{1}{2} |60|

A_t = 30

O mesmo resultado que encontramos a partir do método anterior.

Dividindo Polígonos

Para demonstrar como fazer a divisão dos polígonos e, só depois, calcular as áreas através do determinante, iremos calcular a área do pentágono abaixo:

Áreas de polígonos. pentágono

As coordenadas dos pontos A, B,C,D e E são, respectivamente, (-5,0), (-8,4), (0,7), (8,4) e (5,0). Iremos dividir esse pentágono em três triângulos: ABC, ACE e CDE, onde ABC e CDE possuem a mesma área.

Área de ABC

D = \begin{vmatrix}-5 & 0 & 1 \\-8 & 4 & 1\\0 & 7 & 1\end{vmatrix} = 60

A_t = \frac{1}{2} |31|

A_t = 15,5

Logo, a área do triângulo CDE é também 15,5.

Área de CAE

D = \begin{vmatrix}-5 & 0 & 1 \\0 & 7 & 1\\5 & 0 & 1\end{vmatrix} = 60

A_t = \frac{1}{2} |70|

A_t = 35

Portanto, a área total do pentágono é: 

A = 15,5+15,5+35

A = 66

O que nos permite calcular a área de polígonos, bastando apenas conhecer as coordenadas do seus vértices.

Referências

DANTE, Luiz Roberto. Matemática. 1.ed .São Paulo: Ática, 2005.

Sugira o tema da próxima postagem

Precisa de alguém para lhe guiar pelo caminho dos estudos?

Preparatório ENEM

Preparatório ENEM

Compre clicando no link ou utilizando o cupom "ALEMDOSCALCULOS" e tenha acesso ao curso vitalício por apenas R$75,00.

Acesse o Curso
2.5 2 votes
Article Rating
Inscrever-se
Notificação de
guest
0 Comments
Oldest
Newest Most Voted
Inline Feedbacks
Visualizar todos os comentários
plugins premium WordPress
0
Deixe a sua opiniãox