Ponto e Reta

Um ponto representa uma posição específica em um plano, enquanto uma reta é um conjunto linear infinito de pontos. Conforme Euclides em seu primeiro postulado sobre geometria plana, pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos, pois dois pontos são suficientes para encontrar sua inclinação.

Equação da reta

Uma reta tem sua equação geral dada por y = ax + b, que é uma equação afim ou equação do primeiro grau. Mas o que cada item significa?

a significa o quanto essa reta está inclinada, em outros termos, o quanto ela sobe ou desce na medida que os valores de x aumentam ou diminuem. Basicamente, é a razão entre a variação dos valores de y e a variação dos valores de x.

a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=tgα

Analisando bem, percebemos que a razão entre a variação no eixo y, ou altura, e a variação no eixo, a base, representa o conceito de tangente. Ou seja, a inclinação de um reta é a tangente formada entre ela e a horizontal.

b significa o ponto em que a reta corta o eixo y, ou seja, uma reta que corta o eixo y na origem (0,0), tem sua função dada por y = ax. Conhecendo a inclinação da reta e um único ponto pertencente a ela, podemos encontrar o valor de b, conhecido também como termo independente por não vir acompanhado de variável.

Por exemplo, qual o valor do termo independente da reta que possui inclinação igual a 2 e passa pelo ponto (8,3)

y = ax + b

3 = (2)(8) + b

3 = 16 + b

3-16= b

-13= b

Portanto, a equação dessa reta seria:

y = ax + b

y = 2x-13

Ponto médio

O ponto médio de um segmento representa o ponto em que se encontra o centro desse segmento, ou seja, que o corta ao meio.

Sabendo que o ponto médio é equidistante das duas extremidades, podemos dizer que o ponto médio é dado pela média entre a coordenada inicial e a coordenada final, logo

x_m= \frac{x_1+x_2}{2}

y_m= \frac{y_1+y_2}{2}

Distância entre Dois Pontos

A distância entre dois pontos é dada por uma equação já conhecida, o teorema de Pitágoras, pois, como se vê na figura abaixo, um cateto é a diferença entre as cotas no eixo y e o outro, a diferença entre as cotas no eixo x, por fim, a hipotenusa é a distância entre esses dois pontos.

Entre Ponto e Reta

Existe um ponto de uma reta que mais se aproxima de um certo ponto fora da reta, e a distância entre esses dois pontos é a distância entre e a reta e o ponto. Ao se pensar numa maneira mais simples de chegar em um certo lugar, sempre pensamos em evitar as curvas e pegarmos uma só reta, esse pensamento será utilizado aqui.

Existe uma única reta que corta a nossa reta y = ax+b passando pelo ponto B e A, essa condição nos ajudará a encontrar o ponto em que as duas retas se interceptam e então calcular a distância entre a intersecção B e o ponto A.

É importante notar que as retas são perpendiculares, por isso a = -1/c

Pegaremos como exemplo: