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Conjugado de um Número Complexo e suas Propriedades

O conjugado de um número complexo z = (a,b) = a + bi é:

\bar{z}=(a,-b)=a-bi

O conjugado é descrito pela mesma letra, todavia, com um traço acima.

Sendo assim, vamos aos exemplos:

se z=5+5i, então \bar{z}=5-5i

se z=-5-5i, então \bar{z}=-5+5i

Percebam, a única parte que é alterada é a parte imaginária, que é multiplicada por -1.

se z=i, então \bar{z}=-i

se z=5, então \bar{z}=5

Concluímos que um número complexo é igual a seu conjugado apenas se a parte imaginária for igual a zero.

Um número complexo é um par ordenado, logo, podemos ver, geometricamente, os números acima e seus conjugados da seguinte forma:

Propriedades do Conjugado

1º Propriedade: O produto de um número complexo pelo seu conjugado é igual a soma do quadrado da parte real a e o quadrado da parte imaginária b. 

z \cdot \bar{z}=(a+bi)(a-bi)
z \cdot \bar{z}=a^2-{(bi)}^2
z \cdot \bar{z}=a^2-b^2i^2
z \cdot \bar{z}=a^2-b^2(-1)
z \cdot \bar{z}=a^2+b^2

2º Propriedade: O conjugado da soma é igual a soma dos conjugados.

\overline{z+p}=\bar z + \bar p
\overline{(a+bi)+(c+di)}=(a-bi) + (c-di)
\overline{(a+c)+(b+d)i}=(a-bi) + (c-di)
(a+c)-(b+d)i=(a+c) + (-b-d)i
(a+c)+(-b-d)i=(a+c) + (-b-d)i

3º Propriedade: O conjugado do produto é igual ao produto dos conjugados.

\overline{z\cdot p}=\bar z \cdot \bar p
\overline{(a+bi)(c+di)}=(a-bi)(c-di)
\overline{ac + adi +cbi + bdi^2}=ac-adi-cbi-bdi^2
\overline{ac + adi +cbi – bd}=ac-adi-cbi-bdi^2
\overline{(ac-bd)+(ad+cb)i}=(ac-bd)+(-ad-cb)i
(ac-bd)-(ad+cb)i=(ac-bd)-(ad+cb)i

Vemos também o conceito de conjugado no processo de racionalização, que é o processo no qual tornamos um denominador irracional em um denominador racional e isso apenas multiplicando o denominador e o numerador pelo conjugado do denominador.

Assim como na racionalização, o conceito de conjugado irá nos auxiliar no processo de divisão, como veremos abaixo:

\frac{z}{p}=\frac{a}{p}\cdot\frac{\bar p}{\bar p}= \frac{(a+bi)}{(c+di)}\cdot\frac{(c-di)}{(c-di)}
=\frac{(a+bi)(c-di)}{a^2+b^2}
=\frac{(ac+bd)+(-ad+cb)i}{a^2+b^2}
=\frac{(ac+bd)}{a^2+b^2}+\frac{(-ad+cb)i}{a^2+b^2}

Ao multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, podemos resolver a divisão gerando valores satisfatórios.

Referências

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. 1. ed. 3 vol. São Paulo: Ática, 2010.

GÓES, Anderson Roges Teixeira; GÓES, Heliza Golaço. Números Complexos e Equações Algébricas. Curitiba: InterSaberes, 2015.

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