Polinômio

Define-se polinômio, expressão polinomial ou polinômio na variável complexa x toda expressão que possua a seguinte forma:

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_2x^2+a_1x^1+a_0

ou seja, um polinômio é uma soma de monômios, sendo monômio qualquer termo que apresentar a seguinte estrutura:

a_nx^n

Para que seja um polinômio, deve respeitar as seguintes regras:

(1) Todos os coeficientes ( termo que acompanha a variável, ou melhor, a letra) são números complexos.

Obs: O conjunto dos número complexos engloba todos os demais conjuntos.

(2) todos os expoentes são positivos ou nulos, ou seja, nenhuma variável pode ser elevada a um número negativo.

(3) O grau da expressão é dado pelo maior expoente de x.

Função Polinomial

Uma função é chamada de polinomial quando definida por uma expressão polinomial, ou seja:

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_2x^2+a_1x^1+a_0

Grau do Polinômio

(1) 3x² + 5x – 1: expressão polinomial do 2º grau

(2) 5x -1: expressão polinomial do 1º grau

(3) x⁵ + 8: expressão polinomial do 5º grau

(4) 10: polinômio constante ou polinômio de grau 0.

Não são polinômios:

(1) (1/x⁵) + 8. Expoente no denominador configura expoente negativo no numerador, logo, vai contra a definição.

(2) (x⅛) – 2. Pela definição, os expoentes devem ser número inteiros, logo, a nossa expressão não é polinomial.

Em termos de monômios, dizemos que a expressão (1) é uma soma de três monômios em x, enquanto a (2) é uma soma de dois monômios também em x.

Grau da Função Polinomial

Uma função polinomial é caracterizada pelo grau do polinômio que a compõe, ou seja, uma função dada pelo polinômio (2):

f(x)=5x-1

É uma função polinomial do 1º grau.

Valor Numérico de um Polinômio

O seu valor numérico é encontrado substituindo x por um número complexo e realizando as devidas somas.

Portanto, f(a) é o valor numérico de f(x) para x = a.

Polinômio Exercícios - Valor Numérico

(Questão 1) determine o valor número do polinômio 3x² + 5x – 1 para x = 1.

g(1)=3\cdot 1^2+5\cdot 1 -1

g(1)=3+5-1

g(1)=7

Percebemos, a partir do resultado, que, para x = 1, o valor numérico do polinômio é a soma dos seus coeficientes, nesse caso, 3 + 5 -1 =7

(Questão 2) Calcule o valor numérico do polinômio x⁵ + 8 para x = 0.

p(0)=0^5+8

p(0)=8

Sendo x = 0, o valor numérico é igual ao termo independente, pois é o único termo que não é acompanhado de variável.

(Questão 3) Calcule o valor numérico de h(x) = 5x – 1 para x = 10.

h(10)=5\cdot 10-1

h(10)=50-1

h(10)=49

Igualdade de Polinômios

Dois polinômios são iguais se e somente se os seus valores numéricos forem iguais para qualquer a pertencente ao conjunto dos complexos.

Ou seja, deve ter seus coeficientes respectivamente iguais.

Polinômio Exercícios - Igualdade de Polinômios

(Questão 1) Sendo f(x) = 2x³ + 5x² + 8 e g(x) = ax³ + bx² + cx + d, quais os valores de a,b,c,d fazendo-se f(x) = g(x)?

a = 2

b = 5

c = 0

d = 8

Raiz da Função

A raiz de uma função representa o ponto onde o seu gráfico toca o eixo x, ou seja, tem valor de y igual a zero, em outras palavras, é o valor de x que torna o valor numérico da função igual a zero e é também chamado de zero da função.

f(x_r)=0

Zero da Função Exercícios Resolvidos

1º Questão) Determine a raiz da função afim f(x) = 8x + 2

8x + 2 = 0

8x =-2

x =\frac{-2}{8}=\frac{-1}{4}

2º Questão) Calcule a raiz ou zero da funções.

a) $f(x) = x^2-81$

b) $f(x) = x-50$

a) $x^2-81= 0$

x^2=81

x=\pm\sqrt{81}

x=\pm9

b) $x-50=0$

x=50

3º Questão) Qual o zero da função g(x) = $x^3+27$ ?

x^3+27=0

x^3=-27

x=\sqrt[3]{-27}

x=-3

4º Questão) Determine as raízes da função do 2º grau f(x) = x^2+3x-4[/katex].

x^2+3x-4=0

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4(1)(-4)}}{2(1)}

x=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2(1)}

x=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}

x=\frac{-3\pm5}{2}

x_1=\frac{-3+5}{2}=1

x_2=\frac{-3-5}{2}=-4

Operações com Polinômios

Soma de Polinômios

Sabemos que para um dado valor de x, ou seja, para um dado valor da variável independente, encontra-se um certo valor de y. Com isso, podemos deduzir que o valor de y em um ponto onde houve uma soma de polinômios seria a soma dos respectivos valores numéricos da função, em outras palavras, a altura total seria a soma das alturas. Logo, para dois funções:

f(x)=y=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x^1+a_0

g(x)=y=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+…+b_1x^1+b_0

f(x)+g(x)=(a_n+b_n)x^n+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+…+(a_1+b_1)x^1+(a_0+b_0)

Concluímos que a soma de polinômios se dá através da soma de monômios de mesma variável. Vamos a um exemplo.

f(x)=10x^3+5x^2+8

g(x)=3x^2+13

f(x)+g(x)=10x^3+5x^2+8+3x^2+13

f(x)+g(x)=10x^3+(5+3)x^2+8+13

f(x)+g(x)=10x^3+8x^2+21

Subtração de Polinômios

O mesmo raciocínio usado na soma é usado na subtração de polinômios.

f(x)=y=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x^1+a_0

g(x)=y=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+…+b_1x^1+b_0

f(x)-g(x)=(a_n-b_n)x^n+(a_{n-1}-b_{n-1})x^{n-1}+…+(a_1-b_1)x^1+(a_0-b_0)

Utilizando do mesmo exemplo:

f(x)=10x^3+5x^2+8

g(x)=3x^2+13

f(x)-g(x)=10x^3+5x^2+8-(3x^2+13)

f(x)-g(x)=10x^3+(5-3)x^2 + 8-13

f(x)-g(x)=10x^3+2x^2-5

Polinômio por Escalar

Confira: Como manipular funções e gráficos.

Ao multiplicar um polinômio por um escalar, estamos fazendo que que cada ponto pertencente a função tem seu valor de y multiplicado por esse escalar, pois.

p\cdot f(x)=p\cdot y

Por isso:

p\cdot f(x)=p\cdot (a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x^1+a_0)

Exemplo:

f(x)=10x^3+5x^2+8

5\cdot f(x)=5 \cdot(10x^3+5x^2+8)

5\cdot f(x)=50x^3+25x^2+40

Multiplicação de Polinômios

Assim como nas operações anteriores, a multiplicação de polinômios pode ser facilmente a partir da propriedade distributiva, onde cada monômio de uma função polinomial vai ser multiplicado pelos monômios da outra função polinomial.

f(x)=10x^3+5x^2+8

g(x)=3x^2+13

f(x)\cdot g(x)=(10x^3+5x^2+8)(3x^2+13)

f(x)\cdot g(x)=30x^5+130x^3+15x^4+65x^2+24x^2+104

f(x)\cdot g(x)=30x^5+130x^3+15x^4+89x^2+104

Multiplicação de Polinômios Exercícios

1º Questão) Determine o valor numérico da função polinomial dada pela multiplicação dos polinômios $p(x)=x^3+5x+1$ e $h(x)= 8x+6$ para x = 2 .

p(x)\cdot h(x)=(x^3+5x+1)(8x+6)

p(x)\cdot h(x)=8x^4+6x^3+40x^2+30x+8x+6

p(x)\cdot h(x)=8x^4+6x^3+40x^2+38x+6

p(x)\cdot h(x)=8{(2)}^4+6{(2)}^3+40{(2)}^2+38(2)+6

p(x)\cdot h(x)=418

2º Questão) Determine o produto entre os monômios $x^5$ , $2x^2$ , $x$ e $3x$ .

x^5 \cdot 2x^2 \cdot x \cdot 3x

=(2\cdot 3)\cdot x^{5+2+1+1}

=6x^9

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. 1. ed. 3 vol. São Paulo: Ática, 2010.

MCCALLUN, W. G. Álgebra: forma e função. 1. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.

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