Antes de trabalharmos o conceito de desconto racional, devemos compreender os conceitos mais básicos necessários para o seu entendimento.
Valor Nominal (N)
É a quantia resgatada na data prevista para o vencimento do título, ou seja, o próprio montante da operação, podemos dizer que é o valor a ser resgatado sem qualquer desconto.
Valor Atual (A)
Aquele que é pago ou recebido antes do vencimento, sendo assim, aquele que já foi descontado.
Desconto (d)
É a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
O desconto racional é um desconto que incide sobre o valor atual do título, portanto, tomaremos como valor inicial ou capital o valor atual do título.
Desconto Racional Simples
Caso ainda não entenda o conceito de acréscimo e desconto dentro da linguagem matemática Clique aqui
O desconto racional, ou desconto por dentro, é um desconto que incide sobre o valor atual do título, em outras palavras, o desconto racional é o resultado da multiplicação entre o valor atual do título, a taxa e o tempo até o vencimento, sendo assim, temos:
dr = Ar ⋅ i ⋅ n
dr – desconto racional
Ar – valor atual racional
i – taxa de juros
n – tempo até o vencimento
Partindo do conceito de valor atual que apresentamos no início do tópico, podemos defini-lo como:
Ar = N – dr
Substituindo a segunda fórmula na primeira, temos:
dr = (N – dr) ⋅ i ⋅ n
dr = N ⋅ i ⋅ n – dr ⋅ i ⋅ n
dr + dr ⋅ i ⋅ n = N ⋅ i ⋅ n
dr (1 + i ⋅ n) = N ⋅ i ⋅ n
dr = (N ⋅ i ⋅ n)/(1 + i ⋅ n)
Valor Atual Racional
Por sua vez, encontraremos o valor atual racional substituindo o valor encontrado para o desconto na fórmula já apresentada.
Concluímos que o valor atual, ou seja, o valor descontado, equivale a razão entre o valor nominal e a soma de 1 e o produto da taxa pelo tempo .
Exercício Resolvido
(Questão 1) Resgata-se um título de crédito de valor nominal de R$250.000,00 com uma taxa de 2% a.m., supondo que o título sofreu um desconto racional simples 45 dias antes do vencimento, calcule o desconto e o valor atual .
Resolução
Como já vimos, para se obter o valor atual basta que façamos as devidas operações a partir do valor nominal, da taxa e do tempo e para se obter o desconto basta que a gente subtraia o valor nominal do valor atual.
Valor Atual Racional
Ar = 250.000/(1 + 0,02⋅ 45)
Ar = 250.000/(1 + 0,9)
Ar = 250.000/(1,9)
Ar = 131.578,95
Desconto Racional
dr = 250.000 – 131.578,95
dr = 118.421,05
Desconto Racional Composto
Diferente do que fizemos no desconto racional simples, faremos com o desconto racional composto o processo inverso, encontraremos primeiro o valor atual e, só depois, o valor do desconto.
Como já foi discutido, o valor atual é a divisão do valor nominal pelo crescimento referente a taxa no tempo, portanto:
Valor Atual
E partindo do conceito de valor atual:
Desconto
Caso não tenha compreendido o desenvolvimento da fórmula, utilize a propriedade distributiva da multiplicação para desenvolver a equação. Após usar a propriedade você irá obter o que está descrito na segunda linha.
Exercício Resolvido
(Questão 1) Vamos supor que iremos descontar uma nota promissória com valor nominal de R$40.000,00 5 meses antes do vencimento. Qual o valor atual, ou seja, o valor descontado, admitindo que a taxa de desconto racional é de 15%?
Resolução
Ar = 40.000/(1+0,15)⁵
Ar = 40.000/(1,15)⁵
Ar = 19.887,07
SOLUÇÃO CONCURSOS. Apostila Caixa Econômica Federal – Técnico Bancário. Editora Solução: 2019.
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 14 ed. São Paulo: Atlas, 2019.
