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Equação da Circunferência

A equação da circunferência tem o objetivo de descrever todos os pontos pertencentes a circunferência, em outras palavras, essa equação relaciona os valores da coordenada x com os valores da coordenada y.

O que muitos não percebem ao estudar esse assunto é que equação é dada a partir do teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras na Circunferência

equação da circunferência. centro na origem

Ao olharmos o triângulo retângulo formado ligando-se o centro do círculo á sua circunferência, percebemos duas coisas sobre o triângulo.

(1) A hipotenusa do triângulo é igual ao raio do círculo.

(2) Os dois catetos do triângulo correspondem as coordenadas do ponto em x e y. 

Usando o teorema, temos:

r^2=x^2+y^2

Coordenada x 

x^2=r^2-y^2
x=\pm\sqrt{r^2-y^2}

Coordenada y

y^2=r^2-x^2
y=\pm\sqrt{r^2-x^2}

Circunferência com Centro fora da Origem

O trabalho desse tópico consiste em encontrar os novos valores para os catetos do triângulo retângulo, vamos deduzi-los através do gráfico

equação da circunferência. centro fora da origem

A nova circunferência se encontra a 3 unidades de distância em relação ao eixo. Pensando nisso, qual seria o valor da base do triângulo retângulo da imagem?

5-3 = 2

Ou seja, o valor da coordenada do ponto foi subtraído do valor correspondente ao centro, generalizando esse raciocínio, podemos dizer que a equação da circunferência de centro (a,b) é:

r^2=(x-a)^2+(y-b)^2

Coordenada x 

(x-a)^2=+(y-b)^2 +r^2
x-a=\pm\sqrt{r^2-(y-b)^2}
x=a\pm\sqrt{r^2-(y-b)^2}

Coordenada x 

(y-b)^2=+(x-a)^2 +r^2
y-b=\pm\sqrt{r^2-(x-a)^2}
y=b\pm\sqrt{r^2-(x-a)^2}

Equação Normal ou Geral da Circunferência

A outra maneira de escrevemos a equação da circunferência é desenvolvendo o quadrado da soma, ou seja:

r^2=x^2-2ax+a^2+y^2-by+b^2
x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0
x^2+y^2-2(ax-by)+(a^2+b^2-r^2)=0

Pensando na circunferência que vimos no início desse tópico, sabemos que ela possui raio igual a 3 e possui centro em (3,0), logo, a sua equação é:

3^2=(x-3)^2+(y-0)^2
9=(x-3)^2+(y-0)^2

E a sua equação normal é:

9=x^2-6x+9+y^2
x^2-y^2-6x+9-9=0
x^2-y^2-6x+0=0

Percebemos que a partir da normal é muito mais complicado identificar o centro e o raio da circunferência, por isso, muitas vezes, é preciso voltar a equação original, mas como?

Método de Completar Quadrados

Utilizaremos do método de completar quadrados para chegar aos quadrados das somas. 

1º passo: Separar os termos que possuem x e y

x^2-y^2-6x+0=0
(x^2-6x)-6x+0=0

2º passo: Colocar do lado direito todos os termos que não possuem variável.

3º passo: Encontrar o termo que falta para formar o quadrado. Sabemos que o quadrado da diferença possui a seguinte estrutura:

{(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2

portanto.

{(x-c)}^2=x^2-6x+c^2

Partindo do termo central, temos:

-2xc=6x
c=\frac{6x}{-2x}
c=3

Por isso, o termo que falta é 9, que é c^2.

4º passo: Somar o termo que falta em ambos os lados.

(x^2-6x)-6x+9=9
(x^2-6x+9)-6x=9

5º passo: Substituir pelo quadrado.

{(x-3)}^2-6x=9

Exercícios de Equação da Circunferência

Questão 1) Determine a equação da circunferência cuja origem se encontra no ponto C(5,4) e que passa pelo ponto N(9,4).

Resolução

O que nos falta para montar a equação é o valor do raio. Partindo da equação genérica.

r^2={(x-a)}^2+{(y-b)}^2
r^2={(x-5)}^2+{(y-4)}^2

Substituindo x e y pelas coordenadas de N.

r^2={(9-5)}^2+{(4-4)}^2
r^2={(4)}^2
r=4

Sendo assim, a equação é:

16 ={(x-5)}^2+{(y-4)}^2

Sugira o tema da próxima postagem

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