Preparatório ENEM

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Exercícios de Trigonometria no Triângulo Retângulo

Observação: Alguns enunciados foram alterados em virtude da falta de disponibilidade da simbologia, todavia, a estrutura das questões se mantêm igual.

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(DANTE, 2005) Examine o triângulo retângulo da figura abaixo e calcule em seu caderno o valor destas razões:

(a) sen α   (b) cos α   (c) tg α   (d) sen β   (e) cos β   (f) tg β 

trigonometria no triângulo retângulo. dante

Para resolver essa questão devemos nos atentar ao significado de seno, cosseno e tangente.

seno = (cateto oposto) / (hipotenusa)

cosseno = (cateto adjacente) / (hipotenusa)

tangente = (cateto oposto) / (cateto adjacente)

 

Observação: O cateto oposto é o lado oposto ao ângulo em questão.

2º (DANTE, 2005) Responda com base na análise do triângulo retângulo da figura a seguir:

(a) Qual o valor da soma α + β

(b) Indique as frações correspondentes a sen α, cos α, tg α, sen β, cos β, tg β.

trigonometria no triângulo retângulo. dante

(a) A soma de todos os ângulos internos de um triângulo é igual 180º, logo, se um dos ângulos é reto, ou seja, igual a 90º, a soma dos outros dois deve ser igual, também, a 90º, pois

90º + α + β = 180º

α + β = 90º

 

(b) Percebemos, a partir da resolução, que ângulos complementares (soma igual a 90º), possuem o seno igual ao cosseno do outro ângulo e vice-versa.

 

3º (DANTE, 2005) Em um triângulo EFG, retângulo em E, temos:

sen α = 5/6,  cos α = (√11)/6 e tg α = (5√11)/11

trigonometria no triângulo retângulo. dante

(a) Calcule sen β, cos β e tg β

(b) Se a hipotenusa do triângulo ΔEFG mede 30 cm, quanto mede os catetos?

c) Calcule o valor das expressões:

(1) (sen α)² + (cos α)²

(2) (sen α)/(cos α)

(3) sen²β + cos²β

(4) (sen β)/(cos β)

Vimos que o sen α = cos β, sen β = cos α e tg α = 1/tg β sempre que α + β = 90º, logo, a partir dessas relações, podemos resolver a letra (a)

sen β = cos α    cos β = sen α

sen β = \frac{\sqrt{11}}{6}    cos β = \frac{5}{6}

conhecendo o seno e o cosseno de α, podemos encontrar o seno e o cosseno de β.

tg β = \frac{1}{tg α} = \frac{11}{5\sqrt{11}}
= \frac{11}{5\sqrt{11}} \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}} =\frac{11\sqrt{11}}{5\cdot11}=\frac{\sqrt{11}}{5}

Sendo a tangente de β igual ao inverso da tangente de α, basta inverter o numerador com o denominador. Ao nos depararmos com uma raiz no denominador, devemos racionalizar o número multiplicando numerador e denominador por uma raiz que nos permita deixar raízes apenas no numerador.

(b) Conhecendo a relações trigonométricas e pelo menos um lado, podemos encontrar o outros lados, vamos a resolução.

sen α = \frac{CO}{HP} = \frac{EG}{30} \
\to \frac{5}{6} = \frac{EG}{30}\to EG = 25
cos α = \frac{CA}{HP} = \frac{EF}{30} \
\to \frac{\sqrt{11}}{6} = \frac{EF}{30}\to EF = 5\sqrt{11}

Sendo a tangente de β igual ao inverso da tangente de α, basta inverter o numerador com o denominador. Ao nos depararmos com uma raiz no denominador, devemos racionalizar o número multiplicando numerador e denominador por uma raiz que nos permita deixar raízes apenas no numerador.

a) {(sen α)}^2 + {(cos β)}^2 = {(\frac{5}{6})}^2 + {(\frac{\sqrt{11}}{6})}^2
= \frac{25}{36}+\frac{11}{36}=\frac{36}{36}=1
b) \frac{sen α}{cos α}  = tg α = \frac{5\sqrt{11}}{11}
c) {(sen α)}^2 + {(cos β)}^2 = {(\frac{\sqrt{11}}{6})}^2 + {(\frac{5}{6})}^2
d) \frac{sen β}{cos β}  = tg β = \frac{\sqrt{11}}{5}

c) Vamos apenas substituir os valores de seno e cosseno.

a) {(sen α)}^2 + {(cos β)}^2
= {(\frac{5}{6})}^2 + {(\frac{\sqrt{11}}{6})}^2
= \frac{25}{36}+\frac{11}{36}=\frac{36}{36}=1
b) \frac{sen α}{cos α}  = tg α = \frac{5\sqrt{11}}{11}
c) {(sen β)}^2 + {(cos β)}^2
= {(\frac{\sqrt{11}}{6})}^2 + {(\frac{5}{6})}^2=1
d) \frac{sen β}{cos β}  = tg β = \frac{\sqrt{11}}{5}

Os resultados das letras a e c são encontrados através de uma relação trigonométrica fundamental que nos diz que a soma dos quadrados de seno e cosseno de um mesmo ângulo é sempre igual a 1.

Caso ainda não conheça as relações trigonométricas fundamentais Clique aqui.

Encontre o perímetro do losango abaixo.

trigonometria no triângulo retângulo

O losango é formado por 4 triângulos retângulos e suas hipotenusas representam os lados, logo, encontraremos o perímetro somando todas as hipotenusas. um dos catetos desse triângulo corresponde a metade da altura, enquanto que o outro corresponde a metade do comprimento.

Encontramos, através do teorema de Pitágoras, o valor do lado do losango. Agora, basta somar todos os lados, ou seja, o perímetro do losango é igual a 20 = 5+5+5+5.

5º (Mack) Na figura, determine o valor de AB:

trigonometria no triângulo retângulo. mackenzie

Temos conhecimento de parte do trecho AB, pois, sabemos que DC é igual a 50m, nos falta encontrar o valor do cateto oposto do triângulo retângulo. Sabemos que seno é igual a cateto oposto sobre hipotenusa, portanto:

Agora, podemos calcular AB somando os trechos: 25 cm + 50 cm = 75cm = AB

O seno de 30º é um valor recorrente, por isso não houve explicação mais detalhada.

Para conhecer os valores de seno, cosseno e tangente de ângulos recorrentes Clique aqui.

Determine as medidas x e y nos seguintes triângulos.

a) 

Uma das maneiras de resolver o problema é encontrar o valor do ângulo y e, após isso, utilizar o valor da sua tangente para descobrir o valor de x.

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º e podemos identificar pela imagem que os ângulos z e o de 60º graus são ângulos suplementares, ou seja, a sua soma é igual a 180º.

60º + z = 180º

z = 180º – 60º

z = 120º

Encontrando z, podemos encontrar o valor de y.

120º + 30º + y = 180º

y = 180º- 120º – 30º

y = 30º

Por fim, podemos usar o conceito de tangente para encontrar o valor de x.

Concluímos que o valor de x é igual a (100√3)/3 cm.

Em desenvolvimento

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