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Exercícios de Progressão Aritmética

Lista de exercícios de progressão aritmética com questões tiradas do ENEM, vestibulares, livros e produzidas pelo próprio autor.

Querendo rever o conteúdo de progressão aritmética? Clique aqui

1º  Questão – Determine o 12º termo de uma PA cuja razão é 10 e o seu primeiro termo é -20.

Resolução

Desenvolvendo esse cálculo de forma intuitiva, temos:

a_1 = -20
a_2 = -10
a_3 = 0
a_4 = 10
a_{20} = 90

Utilizando a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética

a_n = a_1 +r(n-1)
a_{20} = -20 +10(12-1)
a_{20} = -20 +110
a_{20} = 90

2º  Questão – Determine a fórmula do termo geral de uma PA para cada sequência abaixo.

a) (1,9,16,…)

b) (5,25,45,…)

c) (x, x-y, x-2y)

Resolução

a) a_n = 1 +(9-1)(n-1)

a_n = 1 +7(n-1)

b) a_n = 5 +(25-5)(n-1)

a_n = 5 +20(n-1)

c) a_n = x +(x-y-x)(n-1)

a_n = x -y(n-1)

3º  Questão – Qual o valor do 15º número ímpar e qual a soma de todos os números ímpares iguais ou menores que ele?

Resolução

Sabemos que o primeiro termo ímpar é 1, o segundo é 3 e o terceiro é 5. A partir disso, vemos que a diferença entre eles é sempre igual a 2, em outras palavras, esses números formam uma PA de razão 2.

a_{15} = 1+2(15-1)
a_{15} = 1+2(14)
a_{15} = 1+28
a_{15} = 29

E usando a fórmula da soma dos termos de uma PA, temos:

s_{15} = \frac{15(1+29)}{2}
s_{15} = \frac{15(30)}{2}
s_{15} = \frac{450}{2}
s_{15} = 225

4º  Questão – (Enem 2ª aplicação 2014) A cada dia que passa, um aluno resolve 2 exercícios a mais do que resolveu no dia anterior. Ele completou seu 11º dia de estudo e resolveu 22 exercícios. Seu objetivo é resolver, no total, pelo menos 272 exercícios. Mantendo seu padrão de estudo, quantos dias ele ainda precisa para atingir sua meta? 

 a) 5 

b) 6 

c) 9 

d) 16 

e) 20

Resolução

O que a questão nos pede é que encontremos a quantidade de termos de uma PA de razão 2 que devem ser somados partindo-se do primeiro termo resultando no valor de 272. O primeiro passo será encontrar o primeiro termo conhecendo apenas o 11º.

a_{11} = a_1+r(11-1)
22 = a_1+2(10)
22 = a_1+20

a_1 = 22 -20 = 2[/katex

Encontrado esse valor, podemos aplicá-lo na fórmula da soma dos termos.

s_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}
272= \frac{n(2+(2+r(n-1))}{2}
272= \frac{n(2+(2+rn-r))}{2}
272= \frac{n(4+rn-r)}{2}
272= \frac{4n+rn^2-rn}{2}
544= 4n+2n^2-2n
2n^2+2n- 544=0

Dividindo toda a equação por 2, temos:

n^2+n-272=0

Utilizando a fórmula de bhaskara para encontrar as raízes:

x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x = \frac{-1\pm\sqrt{1^2-4(1)(-272)}}{2a}
x = \frac{-1\pm\sqrt{1089}}{2}
x = \frac{-1\pm33}{2}
x_1 = \frac{-1+33}{2}=16
x_2 = \frac{-1-33}{2}= -17

Encontramos dois valores, todavia, só nos é útil o 16, pois não existe uma quantidade negativa de dias. Portanto, a alternativa correta é a letra D.

5º  Questão (IF Sul Rio-Grandense 2017) – Considere uma sequência de quadrados em que o primeiro tem área 1, o segunto tem área 2 e assim sucessivamente. Sabendo que as das diagonais destes quadrados estão em progressão aritmética, a área do vigésimo quadrado em u.a., é:

a)\sqrt{40}

b)10

b)38-18\sqrt{2}

b)20

b)\frac{{(38-18\sqrt{2})}^2}{2}

Resolução

Primeiro, vamos encontrar o valor das diagonais do primeiro e segundo quadrado e, após isso, encontrar a diferença entre elas. Para encontrar o valor da diagonal, precisamos encontrar primeiro a medida do lado. Partindo do conceito de área, temos:

Quadrado 1

A_1 = {l_1}^2
1 = {l_1}^2
l_1 = \sqrt{1}

d_1 = 1/katex]

Quadrado 2

A_2 = {l_2}^2
2 = {l_1}^2
l_2 = \sqrt{2}

A partir de agora, podemos determinar a diagonal do quadrado utilizando o teorema de Pitágoras.

exercícios de progressão aritmética. quadrado e sua diagonal
d_1 = \sqrt{2l^2}
d_1 = \sqrt{2(1)^2}
d_1 = \sqrt{2}

E para o segundo quadrado:

d_2 = \sqrt{2l^2}
d_2 = \sqrt{2{\sqrt{2}}^2}
d_2 = \sqrt{2\cdot2}
d_2 = \sqrt{2\cdot2}
d_2 = 2

Subtraindo-os encontramos a razão da nossa PA.

r = d_2 – d_1
r = 2 – \sqrt{2}

Aplicando na fórmula do termo geral, encontramos a diagonal do vigésimo quadrado.

a_{n} = a_1+r(n-1)
a_{20} = \sqrt{2}+(2-\sqrt{2})(20-1)
a_{20} = \sqrt{2}+(2-\sqrt{2})(19)
a_{20} = \sqrt{2}+38 -19\sqrt{2}
a_{20} = +38 -18\sqrt{2}

Encontrada a diagonal, iremos encontrar a área do 20º quadrado, mas para isso, encontraremos primeiro o seu lado.

d_{20} = \sqrt{2{l_{20}}^2}
d_{20} = \sqrt{2}\sqrt{{l_{20}}^2}
d_{20} = \sqrt{2}\cdot l_{20}
d_{20} = \sqrt{2}\cdot l_{20}
d_{20} = \sqrt{2}\cdot l_{20}
l_{20}=\frac{d_{20}}{\sqrt{2}}
l_{20}=\frac{38-18\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

Elevando ao quadrado, determinamos a área.

A_{20}={(\frac{38-18\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^2
A_{20}={(\frac{38-18\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^2
A_{20}=\frac{{(38-18\sqrt{2})}^2}{2}

Portanto, a alternativa correta é a letra E.

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