Exercícios de Progressão Geométrica

Lista de exercícios de progressão geométrica com questões tiradas do ENEM, vestibulares, livros e produzidas pelo próprio autor.

Precisa revisar o conteúdo de progressão geométrica? Clique aqui

1º Questão – Determine o 6º termo de uma PG de razão 3, cujo primeiro termo é 2.

Resolução

Calculando separadamente, nos teríamos o seguinte desenvolvimento:

a_1 = 2

a_2 = 2 \cdot 3 = 6

a_3 = 6 \cdot 3=18

a_4 = 18 \cdot 3=54

a_5 = 54 \cdot 3=162

a_6 = 162 \cdot 3 = 486

Partindo da fórmula do termo geral de uma progressão geométrica, temos:

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

a_6 = 2 \cdot 3^{6-1}

a_6 = 2 \cdot 3^5

a_6 = 2 \cdot 243

a_6 = 486

2º Questão (DANTE, 2005) – As seguintes sequências são PG. Determine a razão de cada uma delas:

a) $(2,8,\dots)$

b) $(\frac{1}{3},\frac{1}{9},…)$

c) $(\frac{x}{y^2},\frac{x^2}{y^3},…)$

c) $(x^{n-2},x^n,…)$

Resolução

Para encontrar a razão de uma PG, basta dividir qualquer termo por aquele que o antecede na sequência, portanto:

a) $r = \frac{8}{2} = 4$

b) $r = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{1} = \frac{1}{3}$

c) $r = \frac{\frac{x^2}{y^3}}{\frac{x}{y^2}} = \frac{x^2}{y^3} \cdot \frac{y^2}{x} = \frac{x}{y}$

d) $r = \frac{x^n}{x^{n-2}} = x^n \cdot x^{-n+2} = x^{n-n+2}= x^2$

3º Questão – Se o 5º termo de uma progressão geométrica de razão 6 é 625, qual o seu primeiro termo?

Resolução

Voltando a fórmula do termo geral de uma PG:

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

a_5 = a_1 \cdot r^{5}

625 = a_1 \cdot 5^5

a_1 = \frac{625}{5^5} = \frac{1}{5}

4º Questão (ENEM 2020) – O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.

O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente. Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?

a) $(\frac{1}{2})^{100}$

b) $(\frac{1}{2})^{99}$

c) $(\frac{1}{2})^{98}$

d) $(\frac{1}{2})^{-98}$

e) $(\frac{1}{2})^{-99}$

o lado do centésimo lado corresponde ao centésimo termo de uma progressão geométrica cujo primeiro valor é 1. Como vemos na figura, os termos sempre caem pela metade, ou seja:

r = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}

É uma PG de razão igual a $\frac{1}{2}$ . Sabendo a razão e o seu primeiro termo, podemos determinar o centésimo termo através da equação do termo geral.

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

a_{100} = 1 \cdot {(\frac{1}{2})}^{100-1}

a_{100} = {(\frac{1}{2})}^{99}

Logo, a alternativa correta é a letra B.

5º Questão (DANTE) – Escreva uma PG:

a) de cinco termos em que $a_1 = 7$ e $q = 3$ ;

b) de cinco termos em que $a_1 = -5$ e $q = 2$ ;

Resolução

a) $(7, 7 \cdot 3, 7\cdot3^2, 7\cdot3^3, 7\cdot3^4)$

= $(7, 21, 63, 189, 567)$

b) $(-5, -5 \cdot 2, -5\cdot2^2, -5\cdot2^3, -5\cdot2^4)$

= $(-5, -10, -20,-40,-80)$

6º Questão – Determine a soma dos 6 primeiros termos das progressões abaixo.

a) $(7,21,63,\dots)$ ;

b) $(3,9,27,\dots)$ ;

c) $(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},…)$ ;

Resolução

Sabendo que a soma dos termos de uma PG é dada pela equação abaixo:

S_n = a_1\frac{1-q^n}{1-q}

Percebemos que o único valor que nos falta é o valor da razão (q).

Letra a

q = \frac{21}{7}=3

S_n = 7\frac{1-3^6}{1-3}

S_n = 7\frac{1-729}{1-3}

S_n = 7\frac{728}{2}

S_n = 7\cdot364

S_n = 2.548

Letra b

q = \frac{9}{3}=3

S_n = 3\frac{1-3^6}{1-3}

S_n = 3\frac{1-729}{1-3}

S_n = 3\frac{728}{2}

S_n = 3\cdot364

S_n = 1.092

Letra c

q = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{2}

S_n = \frac{1}{2}\frac{1-(\frac{1}{2})^6}{1-\frac{1}{2}}

S_n = \frac{1}{2}\frac{1-\frac{1}{64}}{\frac{1}{2}}

S_n = \frac{1}{2}\frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}}

S_n = \frac{1}{2}\cdot\frac{63}{64}\cdot\frac{2}{1}

S_n = \frac{63}{64}

5. (Enem PPL 2019) Alguns modelos de rádios automotivos estão protegidos por um código de segurança. Para ativar o sistema de áudio, deve-se digitar o código secreto composto por quatro algarismos. No primeiro caso de erro na digitação, a
pessoa deve esperar 60 segundos para digitar o código novamente. O tempo de espera duplica, em relação ao tempo de
espera anterior, a cada digitação errada. Uma pessoa conseguiu ativar o rádio somente na quarta tentativa, sendo de 30 segundos o tempo gasto para digitação do código secreto a cada tentativa. Nos casos da digitação incorreta, ela iniciou a nova tentativa imediatamente após a liberação do sistema de espera. O tempo total, em segundo, gasto por essa pessoa para ativar o rádio foi igual a:

a) 300

b) 420

c) 540

d) 660

e) 1.020

Resolução

Sem usar qualquer fórmula, poderíamos calcular o tempo total acrescentando cada tempo separadamente, sendo assim:

t = 30s + 60s + 30s + (60\cdot32)s + 30s + (60\cdot2^2) + 30s

t = 4\cdot 30s + 60s + 120s + 240s

t = 540s

Ao dizer que os tempos de espera sempre dobram, podemos dizer que esses valores formam uma progressão geométrica de razão 2, portanto, podemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PG para calcular o tempo total de espera.

S_n = a_1\frac{1-q^n}{1-q}

S_n = 60\frac{1-2^3}{1-2}

S_n = 60\frac{1-8}{1-2}

S_n = 60\cdot7

S_n = 420

Ou seja, 420s de espera. Somado aos 120s que passou digitando os códigos, temos que o tempo total é de 420s + 120s = 540s

Logo, a alternativa correta é a letra C.

Além dos

Cálculos

Além dos

Cálculos

Exercícios de Progressão Geométrica

Resolução

Resolução

Resolução

Resolução

Resolução

Resolução

Conheça as nossas redes Sociais!

Para os amantes das exatas!