Preparatório ENEM

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Função Quadrática Exercícios

(Questão 1)(BARROSO, 2010) Uma empresa de televisão a cabo, que tem 20.000 assinantes e cobra R$35,00 mensais, fez uma pesquisa de mercado para decidir o aumento que aplicará a sua mensalidade. Os resultados desse estudo indicam que a empresa perderá 400 assinantes para cada real adicionado a mensalidade.

a) Escreva no caderno a sentença que determina o número de assinantes em função da quantidade de reais adicionados a mensalidade.

Sabemos que a empresa possui 20.000 assinantes, logo, esse é o nosso valor fixo, ou seja, o termo independente, e perderá 400 assinantes para cada real aumentado na mensalidade, portanto, a nossa sentença será uma equação do primeiro grau

n(x) = – 400x + 20.000

b) Encontre a sentença que determina o valor de uma mensalidade, em reais, em função do aumento.

A sentença que descreve o valor da mensalidade será igual a R$35,00, valor fixo, mais o aumento.

m(x) = x + 35

c) Dê a lei da função que determina o faturamento mensal(em reais), dependendo da quantidade de reais adicionados na mensalidade.

O faturamento mensal é igual ao produto do número de assinantes pela mensalidade paga por cada um e todos os dois valores já foram encontrados nas duas últimas letras.

f(x) = (- 400x + 20.000)(x + 35)
f(x) = – 400x² -14.000x + 20.000x + 700.000
f(x) = – 400x² + 6.000x + 700.000

d) De quanto deve ser o aumento para maximizar o faturamento mensal?

O ponto máximo ou mínimo de uma função quadrática é chamado de vértice da parábola. O aumento máximo é então o x do vértice.

x_v=\frac{-b}{2a}
x_v=\frac{-6.000}{2(-400)}
x_v=\frac{-6.000}{-800}
x_v=7,5

Concluímos que o aumento deve ser de R$7,50.

Caso ainda não conheça as formúlas do vértice da parábola Clique aqui.

e) Qual é a arrecadação máxima que a empresa pode obter em um mês ao aplicar esse aumento?

A arrecadação máxima é dada pelo y do vértice. Tendo o valor máximo de x, basta que a gente substitua na função.

f(7,5)=-400{(7,5)}^2+6.000(7,5)+700.000
f(7,5)=722.500

f) Quantos assinantes deverá ter essa empresa para obter a arrecadação máxima?

O número de assinantes pode ser conseguido dividindo o faturamento máximo pelo valor pago por cada assinante.

n = 722.500/(7,5 + 35)

n = 722.500/42,5

n = 17.000

São necessários 17.000 assinantes pagando, cada um, R$42,50 para se atingir o faturamento máximo.

(Questão 2) Um livraria vende 1.000 livros por dia a R$40,00 a unidade. Percebendo que, para cada R$2,00 de desconto concedido ao cliente, o número de livros vendidos aumentava em 20 por dia.

Considerando R a receita diária total e x o desconto, em reais, concedido ao comprador. Qual a função que relaciona a receita ao desconto?

Assim como na questão 1, iremos encontrar a sentença que determina o valor unitário e a sentença que determina o número de compras.

VALOR UNITÁRIO

v(x) = 40-x

NÚMERO DE COMPRAS

n(x) = 1.000 – 10X

Pois, para cada real de desconto, o número de livro vendidos aumentava em 10 por dia (esse valor pode ser encontrado através de regra de 3).

Por último, basta multiplicar as duas sentenças.

RECEITA

r(x) = (40-x)(1.000+10x)
r(x) = 40.000-400x-1000x-10x^2
r(x) = -10x^2-1.400x+40.000

(Questão 3)(BARROSO, 2010) Determine o conjunto imagem das seguintes funções quadráticas:

a) f(x) = x² – 5x +1

b) g(x) = – 2x² + 3x + 7

b) h(x) = – 3x² + 8

Caso ainda não compreenda os conceitos de domínio, contradomínio e imagem de uma função. Clique aqui.

O conjunto imagem será todos os possíveis valores da função. Sendo a função quadrática descrita por uma parábola, todos os possíveis valores para f(x) = y, serão determinados pelo seu ponto máximo ou mínimo.

Letra A

x_v=\frac{-(-5)}{2(1)}=\frac{5}{2}
y_v=f(\frac{5}{2})
y_v={(\frac{5}{2})}^2-5{(\frac{5}{2})}+1
y_v=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+1
y_v=\frac{21}{4}

Letra B

x_v=\frac{-(3)}{2(-2)}=\frac{3}{4}
y_v=g(\frac{3}{4})
y_v=-2{(\frac{3}{4})}^2+3(\frac{3}{4})+7
y_v=\frac{-18}{16}+\frac{9}{4}+7
y_v=\frac{-18+36+112}{16}=\frac{65}{8}

Letra C

x_v=\frac{-(0)}{2(-3)}=0
y_v=h(0)
y_v=-3{(0)}^2+8
y_v=8

Após encontrar os pontos máximo e mínimos de cada função, podemos determinar a imagem.

a) Im(f) = { y ∈ R | y ≥ (-21/4)}

b) Im(g) = { y ∈ R | y ≤ (65/8)}

b) Im(h) = { y ∈ R | y ≤ 8}

(Questão 4)(Enem (Libras) 2017) Suponha que para um trem trafegar de uma cidade à outra seja necessária a construção de um túnel com altura e largura iguais a 10 m. Por questões relacionadas ao tipo de solo a ser escavado, o túnel deverá ser tal que qualquer seção transversal seja o arco de uma determinada parábola, como apresentado na Figura 1. Deseja-se saber qual a equação da parábola que contém esse arco. Considere um plano cartesiano com centro no ponto médio da base da abertura do túnel, conforme Figura 2. 

função quadrática

A equação que descreve a parábola é:

a) y=-\frac{2}{5}x^2+10

b) y=\frac{2}{5}x^2+10

c) y=-x^2+10

d) y=x^2-25

e) y=-x^2+25

Sabemos que a parábola corta o eixo y em 10, ou seja, o termo sem variável é igual a 10, por isso, podemos descartar a letras d e a letra  e.

A concavidade está virada para baixo, portanto, o valor que acompanha x^2 é negativo, sendo assim, descartamos a letra b. 

A partir do gráfico, vemos que as duas raízes da função quadrática são -5 e 5, em outras palavras, os pontos (-5,0) e (5,0) pertencem a parábola, sendo assim:

y=ax^2+10
0=a{(-5)}^2+10
0=a(25)+10
-10=a(25)
a=\frac{-10}{25}
a=\frac{-2}{5}

A equação que descreve a parábola é:

y=\frac{-2}{5}x^2+10

Letra A

Em desenvolvimento

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