Posições Relativas entre Reta e Circunferência

Iremos estudar nesse tópico três posições relativas entre reta e circunferência. As possibilidades de posições se resumem às retas que cortam a circunferência em dois pontos, as que cortam a circunferência em apenas um ponto e as que não intersectam.

Reta Secante à Circunferência

Uma reta que é secante à circunferência a intersecta em dois pontos.

Pela figura, vemos algumas relações importantes que existem entre a reta secante e a circunferência. (1) A distância entre o centro e os pontos onde a reta intersecta a circunferência é igual ao raio. (2) A distância do centro à reta é igual a distância do centro até o ponto médio do segmento

\overline{AB}

e essa distância é menor que o raio.

Reta Externa à Circunferência

Sendo a reta externa a circunferência, não há nenhum ponto em comum entre elas.

Portanto, a distância entre a circunferência e a reta é maior que o raio da circunferência.

Reta Tangente à Circunferência

A reta tangente à circunferência intersecta a circunferência em apenas um ponto, ou seja, a reta e a circunferência possuem apenas um ponto em comum.

Como saber qual a posição da reta em relação à circunferência?

Confira antes de prosseguir:

Equação da Circunferência

Ponto e Reta

Os pontos em comuns entre a reta e a circunferência são as soluções do sistema formado pelas equações que as descrevem.

\begin{cases} -y+mx + n = 0 \\ x^2 + y^2 -2ax-2by +a^2+b^2-r^2=0 \end{cases}

Seguindo com o desenvolvimento, iremos isolar o valor de y da equação da reta e substituir na equação da circunferência.

$(I,) y = -mx-n$

$x^2 + {(-mx-n)}^2 -2a(-mx-n)-2by +a^2+b^2-r^2=0$

$x^2+m^2x^2+2mxn+n^2+2amx+2an-2by+a^2+b^2-r^2=0$

Assim que as devidas constantes forem estabelecidas, iremos no deparar com uma equação do segundo grau. A quantidade de pontos em que essa reta intersecta a circunferência será dada valor do discriminante $(Δ=b^2-4ac)$ .

Δ>0

– Reta secante à circunferência.

Δ=0

– Reta tangente à circunferência.

Δ<0

– Reta externa à circunferência.

Em qual ponto a reta toca a circunferência?

Os coordenadas referentes ao eixo das abscissas é encontrada através da resolução da equação do segundo grau que vimos anteriormente, em outras palavras, as raízes da equação equivalem ao valor de x dos pontos em comum entre a reta e a circunferência.

Vamos trabalhar com a circunferência de equação:

$r: x^2+ y^2-2x-4y+3=0$

e reta de equação:

$y=2x+3$

Sistema

$\begin{cases}y=2x+3 \\ x^2+ y^2-2x-4y+3=0 \end{cases}$

Substituindo a primeira na segunda, temos:

$x^2+ {(2x+3)}^2-2x-4(2x+3)+3=0$

$x^2+ 4x^2+12x+9-2x-8x-12+3=0$

$5x^2+2x=0$

Por não haver termo independente, sabemos que uma das suas raízes é zero. O que, através dos métodos usuais de resolução, nos leva a outra equação.

$5x+2=0$

$x=-\frac{2}{5}$

Agora que determinamos os valores de x, podemos substituir na nossa equação da reta a fim de encontrar as coordenadas em y.

Para x = 0

$y = 2(0)+3$

$y = 3$

Para x = $-\frac{2}{5}$

$y = 2(-\frac{2}{5})+3$

$y = -\frac{4}{5}+3$

y = \frac{-4+15}{5}

$y = \frac{11}{5}$

Logo, os pontos onde a reta intersecta a circunferência são (0,3) e $(-\frac{2}{5},\frac{11}{5})$

1 - Geogebra

Além dos

Cálculos