Posições Relativas entre Reta e Circunferência

Iremos estudar nesse tópico três posições relativas entre reta e circunferência. As possibilidades de posições se resumem às retas que cortam a circunferência em dois pontos, as que cortam a circunferência em apenas um ponto e as que não intersectam.

Reta Secante à Circunferência

Uma reta que é secante à circunferência a intersecta em dois pontos.
posições relativas entre reta e circunferência. reta secante
Pela figura, vemos algumas relações importantes que existem entre a reta secante e a circunferência. (1) A distância entre o centro e os pontos onde a reta intersecta a circunferência é igual ao raio. (2) A distância do centro à reta é igual a distância do centro até o ponto médio do segmento \overline{AB} e essa distância é menor que o raio.

Reta Externa à Circunferência

Sendo a reta externa a circunferência, não há nenhum ponto em comum entre elas.
posições relativas entre reta e circunferência. reta exterior à circunferência
Portanto, a distância entre a circunferência e a reta é maior que o raio da circunferência.

Reta Tangente à Circunferência

A reta tangente à circunferência intersecta a circunferência em apenas um ponto, ou seja, a reta e a circunferência possuem apenas um ponto em comum.
posições relativas entre reta e circunferência. reta tangente

Como saber qual a posição da reta em relação à circunferência?

Confira antes de prosseguir:

Os pontos em comuns entre a reta e a circunferência são as soluções do sistema formado pelas equações que as descrevem. \begin{cases} -y+mx + n = 0 \\ x^2 + y^2 -2ax-2by +a^2+b^2-r^2=0 \end{cases} Seguindo com o desenvolvimento, iremos isolar o valor de y da equação da reta e substituir na equação da circunferência.

(I,) y = -mx-n

x^2 + {(-mx-n)}^2 -2a(-mx-n)-2by +a^2+b^2-r^2=0 

x^2+m^2x^2+2mxn+n^2+2amx+2an-2by+a^2+b^2-r^2=0 

Assim que as devidas constantes forem estabelecidas, iremos no deparar com uma equação do segundo grau. A quantidade de pontos em que essa reta intersecta a circunferência será dada valor do discriminante (Δ=b^2-4ac) .

Δ>0 – Reta secante à circunferência. Δ=0 – Reta tangente à circunferência.
 Δ<0 – Reta externa à circunferência.

Em qual ponto a reta toca a circunferência?

Os coordenadas referentes ao eixo das abscissas é encontrada através da resolução da equação do segundo grau que vimos anteriormente, em outras palavras, as raízes da equação equivalem ao valor de x dos pontos em comum entre a reta e a circunferência.

Vamos trabalhar com a circunferência de equação:

r: x^2+ y^2-2x-4y+3=0

e reta de equação:

y=2x+3

Sistema

\begin{cases}y=2x+3 \\ x^2+ y^2-2x-4y+3=0 \end{cases}

Substituindo a primeira na segunda, temos:

 x^2+ {(2x+3)}^2-2x-4(2x+3)+3=0

 x^2+ 4x^2+12x+9-2x-8x-12+3=0

 5x^2+2x=0

Por não haver termo independente, sabemos que uma das suas raízes é zero. O que, através dos métodos usuais de resolução, nos leva a outra equação.

 5x+2=0

 x=-\frac{2}{5}

Agora que determinamos os valores de x, podemos substituir na nossa equação da reta a fim de encontrar as coordenadas em y.

Para x = 0

y = 2(0)+3

y = 3

Para x = -\frac{2}{5}

y = 2(-\frac{2}{5})+3

y = -\frac{4}{5}+3

y = \frac{-4+15}{5}

y = \frac{11}{5}

Logo, os pontos onde a reta intersecta a circunferência são (0,3) e (-\frac{2}{5},\frac{11}{5})

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