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Relações Trigonométricas Fundamentais

As relações trigonométricas fundamentais a primeira vista podem parecer complexas, mas todo o processo de manipulação se baseia em conhecer de onde as associações partiram.

Inicialmente estudaremos a relação fundamental abaixo:

sen^2 α  + cos^2 α = 1

De onde essa relação trigonométrica fundamental partiu e como usaremos ela para desenvolver as demais relações?

Como veremos a seguir, a relação acima decorre do Teorema de Pitágoras.

co^2  + ca^2= hp^2

Dividindo todos os termos por hp^2, temos:

\frac{co^2}{hp^2} + \frac{ca^2}{hp^2} = \frac{hp^2}{hp^2}

\frac{co^2}{hp^2} + \frac{ca^2}{hp^2} = 1

sendo sen α = \frac{co}{hp} e cos α = \frac{ca}{hp} , então sen^2 α = \frac{co}{hp} \cdot  \frac{co}{hp} =  \frac{co^2}{hp^2} e cos^2 α = \frac{ca}{hp} \cdot  \frac{ca}{hp} =  \frac{ca^2}{hp^2}, podemos substituir esses valores na nossa equação.

sen^2 α + cos^2 α  = 1

Caso ainda não conheça as razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente. Clique aqui.

Além de conhecer as razões trigonométricas básicas, precisamos também conhecer as razões inversas, são elas:

Cotangente

cotg α   = \frac{1}{tg α} = \frac{cos α}{sen α}

Secante

sec α   = \frac{1}{cos α} = \frac{cos α}{sen α}

Cossecante

cossec α   = \frac{1}{senα}

Os conceitos de secante, cossecante e cotangente estarão presentes nas próximas e últimas relações fundamentais que serão apresentadas aqui.

Voltemos para a relação trigonométrica fundamental apresentada no início.

sen^2 α  + cos^2 α = 1

As próximas relações serão encontradas dividindo ambos os lados por sen^2 α e por cos^2 α .

Dividindo por sen^2 α

\frac{sen^2 α}{sen^2 α} + \frac{cos^2 α}{sen^2 α} = \frac{1}{sen^2 α}

1 + cotg^2 α = cossec^2 α

Chegamos a conclusão de que o quadrado da cossecante é igual ao quadrado da cotangente mais um.

Dividindo por cos^2 α

\frac{sen^2 α}{cos^2 α} + \frac{cos^2 α}{cos^2 α} = \frac{1}{cos^2 α}

tg^2 α +1 = sec^2 α

Percebemos que o quadrado da secante é igual ao quadrado da tangente mais um.

Referências

RIBEIRO, Jackson. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, 2. São Paulo: Scipione, 2010.

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