As relações trigonométricas fundamentais a primeira vista podem parecer complexas, mas todo o processo de manipulação se baseia em conhecer de onde as associações partiram.
Inicialmente estudaremos a relação fundamental abaixo:
sen^2 α + cos^2 α = 1
De onde essa relação trigonométrica fundamental partiu e como usaremos ela para desenvolver as demais relações?
Como veremos a seguir, a relação acima decorre do Teorema de Pitágoras.
co^2 + ca^2= hp^2
Dividindo todos os termos por hp^2, temos:
\frac{co^2}{hp^2} + \frac{ca^2}{hp^2} = \frac{hp^2}{hp^2}
\frac{co^2}{hp^2} + \frac{ca^2}{hp^2} = 1
sendo sen α = \frac{co}{hp} e cos α = \frac{ca}{hp} , então sen^2 α = \frac{co}{hp} \cdot \frac{co}{hp} = \frac{co^2}{hp^2} e cos^2 α = \frac{ca}{hp} \cdot \frac{ca}{hp} = \frac{ca^2}{hp^2}, podemos substituir esses valores na nossa equação.
sen^2 α + cos^2 α = 1
Caso ainda não conheça as razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente. Clique aqui.
Além de conhecer as razões trigonométricas básicas, precisamos também conhecer as razões inversas, são elas:
Cotangente
cotg α = \frac{1}{tg α} = \frac{cos α}{sen α}
Secante
sec α = \frac{1}{cos α} = \frac{cos α}{sen α}
Cossecante
cossec α = \frac{1}{senα}
Os conceitos de secante, cossecante e cotangente estarão presentes nas próximas e últimas relações fundamentais que serão apresentadas aqui.
Voltemos para a relação trigonométrica fundamental apresentada no início.
sen^2 α + cos^2 α = 1
As próximas relações serão encontradas dividindo ambos os lados por sen^2 α e por cos^2 α .
Dividindo por sen^2 α
\frac{sen^2 α}{sen^2 α} + \frac{cos^2 α}{sen^2 α} = \frac{1}{sen^2 α}
1 + cotg^2 α = cossec^2 α
Chegamos a conclusão de que o quadrado da cossecante é igual ao quadrado da cotangente mais um.
Dividindo por cos^2 α
\frac{sen^2 α}{cos^2 α} + \frac{cos^2 α}{cos^2 α} = \frac{1}{cos^2 α}
tg^2 α +1 = sec^2 α
Percebemos que o quadrado da secante é igual ao quadrado da tangente mais um.
RIBEIRO, Jackson. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, 2. São Paulo: Scipione, 2010.