Brigada Militar - RS - 2009 - Matemática

O Curso BRIGADA MILITAR – RS – SOLDADO está de acordo com o edital publicado em 24 de novembro de 2021 e completo com as mais recentes atualizações.

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Assuntos

– Língua Portuguesa;

– Matemática;

– Direitos Humanos e Cidadania;

– Legislação Específica;

– Conhecimentos Gerais;

– Informática

Questão 11

Assinale a alternativa que apresenta o algarismo que devemos colocar no lugar de y para que o número 23423y5 seja divisível por 9.

(A) 2

(B) 4

(C) 6 

(D) 7

(E) 8

Resolução

Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus termos é um número divisível por 9, logo:

2 + 3 + 4 + 2 +3 + y + 5 = 9\cdot m
19 + y  = 9\cdot m
m = \frac{19+y}{9}

m deve ser um número inteiro, para isso, y deve ser um número que somado a 19 seja maior que 18 e múltiplo de 9. Sabendo que o próximo múltiplo de 9 após 18 é 27, então:

19 + y  = 27
y  = 27-19
y  = 8

Alternativa correta – Letra E

Questão 12

Considere a progressão geométrica (1, 3, 9, …). O valor de k para que a soma dos k primeiros termos da progressão dada seja 1093 é

(A) 6

(B) 7

(C) 8

(D) 9

(E) 10

Resolução

Dividindo um termo da sequência pelo anterior, encontramos a razão dessa pg.

r = \frac{3}{1} = \frac{9}{3} = 3

Utilizando a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica finita, temos:

S_n=\frac{a_1\cdot(r^n-)}{r-1}
1093=\frac{1\cdot(3^k-1)}{3-1}
1093(3-1)=3^k-1
2186+1=3^k
2187=3^k
3^7=3^k
k=7

Alternativa correta – Letra B

Questão 13

Um atirador acerta seus tiros na proporção de 13 para 20. Em um fim de semana, tal atirador acertou 117 tiros. Assinale a alternativa que apresenta o total de tiros disparados sabendo-se que a proporção foi mantida.

(A) 120

(B) 160

(C) 180

(D) 200

(E) 220

Resolução

Se esses valores são proporcionais, sabemos que as suas razão são iguais, ou seja:

\frac{13}{20}=\frac{117}{x}
13x=117 \cdot 20
13x=2340
x=\frac{2340}{13}
x=180

Foram disparados 180 tiros.

Alternativa correta – Letra C

Questão 14

Assinale a alternativa correta. Os valores de x reais tais que a expressão algébrica x^2 – 5x + 6 seja sempre não-positiva pertencem ao intervalo:

(A) -3 < x < -2

(B) -3 \leq x \leq -2

(C) 2 < x < 3

(D) 2 \leq x \leq 3

(E) x < 2\; ou\; x > 3

Resolução

A equação acima é uma equação do segundo grau e possui seu gráfico dado por uma parábola. Sendo assim, os valores não-positivos dessa expressão correspondem aos pontos situados entre as raízes, pontos onde a equação corta o eixo x e, por isso, tem y igual a 0.

Utilizando a fórmula de bhaskara para encontrar as raízes.

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x=\frac{5\pm\sqrt{5^2-4(1)(6)}}{2(1)}
x=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}
x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}
x=\frac{5\pm{1}}{2}
x_1=\frac{5+1}{2}=3
x_2=\frac{5-1}{2}=2

Sabendo que para x = 2 e x = 3 a expressão tem valor nulo, para 2 \leq x \leq 3, ou seja, para valores de x maiores ou iguais a 2 e para valores de x menores ou iguais a 3, essa expressão é não-positiva. Verifique através do gráfico.

Alternativa correta – Letra C

Questão 15

Assinale a alternativa correta. O(s) valor(es) de x real(is) que satisfaz(em) a equação 2^{2x} +2 \cdot 2^x- 8 = 0 pertence(m) ao intervalo

(A) ]-4,0[

(B) ]-5,\frac{1}{2}[

(C) ]-\frac{1}{2},\frac{5}{4}[

(D) [2,+\infty)

(E) (-\infty),\frac{4}{5}]

Resolução

Para resolver essa questão vamos, através das propriedades da potenciação, fazer transformar o primeiro termo em uma potência de 2^x .

2^{2x}+2\cdot 2^x -8 =0
{(2^x)}^2+2\cdot 2^x -8 =0

Fazendo 2^x = y , temos:

y^2+2\cdot y -8 =0

Agora, podemos resolver a equação do segundo grau e encontrar o valor de y para que possamos substituir na nossa fórmula.

x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4(1)(8)}}{2(1)}
x=\frac{-2\pm\sqrt{36}}{2}
x=\frac{-2\pm6}{2}
x_1=\frac{-2+6}{2}=2
x_2=\frac{-2-6}{2}=-4

Substituindo na nossa equação:

2^x=2 \to x = 1
2^x= – 4

Não existe solução para essa última equação, portanto, a nossa única solução é 1.

Alternativa correta – Letra C

Questão 16

Assinale a alternativa correta. Se x pertence ao segundo quadrante e cos x = -\frac{5}{\sqrt{26}}, então tg x é igual a

(A) -\frac{1}{5}

(B) \frac{1}{5}

(C) -\frac{1}{\sqrt{26}}

(D) \frac{1}{\sqrt{26}}

(E) -1

Resolução

Partindo das relações trigonométricas fundamentais, sabemos que:

{cos}^2x+{sen}^2x= 1
{(-\frac{5}{\sqrt{26}})}^2+{sen}^2x= 1
{sen}^2x= 1-\frac{25}{26}
{sen}^2x=\frac{1}{26}
sen\,x=\pm\sqrt{\frac{1}{26}}
sen\,x=\pm\frac{1}{\sqrt{26}}

Sabendo que seno no segundo quadrante é positivo.

sen\,x=\frac{1}{\sqrt{26}}

Para finalizar, basta dividir seno por cosseno e encontrar o valor da tangente.

tg\,x=\frac{sen\,x}{cos\,x}
tg\,x=\frac{\frac{1}{\sqrt{26}}}{-\frac{5}{\sqrt{26}}}
tg\,x=\frac{1}{\sqrt{26}}\cdot (-\frac{\sqrt{26}}{5})
tg\,x=-\frac{1}{5}

Alternativa correta – Letra A

Questão 17

Assinale a alternativa correta. Se f(x) = log(\frac{x^2}{x+11}), o valor de f(-1) é igual a

(A) -3

(B) -1

(C) 0

(D) 1

(E) 3

Resolução

Substituindo x por -1:

log(\frac{{(-1)}^2}{-1+11})
= log(\frac{1}{10})

A partir da definição de logaritmo e sabendo que a base desse logaritmo é 10, ou seja, é um logaritmo decimal:

log(\frac{1}{10})=x
\to 10^x = \frac{1}{10}
\to 10^x = 10^{-1}
\to x = -1

Alternativa correta – Letra B

Questão 18

Assinale a alternativa correta. Em um grupo de 8 pessoas, deseja-se formar uma comissão com apenas 3 delas. De quantas maneiras diferentes podemos fazer essa escolha?

(A) 6

(B) 56

(C) 1680

(D) 34

(E) 668

Resolução

O que temos aqui é uma combinação, pois temos um grupo que deve ser organizado é um número menor de vagas menor que ele e cujas repetições não são contabilizadas, já que a ordem não importa.

C_{n,p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}
C_{8,3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}
C_{8,3}=\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3!(5)!}
C_{8,3}=\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3\cdot 2 \cdot 1}
C_{8,3}=56

Alternativa correta – Letra B

Questão 19

Assinale a alternativa correta. Um recipiente em forma de cone está completamente cheio de um líquido que será despejado em outro recipiente que possui forma cilíndrica. Se o raio da base dos dois recipientes for 25 cm e a altura dos dois for 120 cm, que altura atingirá o líquido no cilindro?

(A) 40cm

(B) 60cm

(C) 70cm

(D) 80cm

(E) 100cm

Resolução

O volume colocado no cilindro é igual ao volume total do cone. A água no cilindro toma a sua forma, portanto, buscamos um outro cilindro de altura desconhecida que possua a mesma base e o mesmo volume que o cone.

A_{cone}=A_{cilindro}
\frac{π\cdot r^2 \cdot h_{cone}}{3}=π\cdot r^2 \cdot h_{cilindro}
\frac{π\cdot r^2 \cdot h_{cone}}{π\cdot r^2 \cdot 3}= h_{cilindro}
\frac{h_{cone}}{3}=h_{cilindro}
\frac{120}{3}=h_{cilindro}
40=h_{cilindro}

Alternativa correta – Letra A

Questão 20

Assinale a alternativa correta. O perímetro de um triângulo eqüilátero é 30 cm. Assim, podemos afirmar que sua área é

(A) 900cm^2

(B) 300cm^2

(C) 25\sqrt{3}cm^2

(D) 30cm^2

(E) \frac{5\sqrt{3}}{4}cm

Resolução

Sendo o seu perímetro formado por 3 lados iguais, deduzimos que cada lado possui 10 cm. Utilizando a fórmula da área de um triângulo equilátero:

A=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}
A=\frac{{10}^2\sqrt{3}}{4}
A=\frac{100\sqrt{3}}{4}
A=25\sqrt{3}

Alternativa correta – Letra C

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