Logaritmo para o ENEM

O logaritmo é uma forma de lidar com variáveis no expoente e possui um conjunto de propriedades, que quando conhecidas, tornam o estudante capaz de manipular as equações para encontrar uma solução. E o conjunto dessas propriedades do logaritmo, para o ENEM, não é grande, mas exige domínio. De maneira geral, um logaritmo significa:

\log_a b = c \to a^c = b

Exemplos

\log_{10} 100 = 2 \to 10^2 = 100
\log_3 81 = 4 \to 3^4 = 81
\log_{\sqrt{7}} 7 = 2 \to \sqrt{7}^2 = 7
\log_{350} 1 = 0 \to 350^0 = 1

Propriedade das Operações

Estudaremos um conjunto de pequenas propriedades relacionadas as operações, que quando bem dominadas e desenvolvidas, respondem qualquer questão que envolva logaritmo, pois elas permitem simplificar e alterar o logaritmo e assim poder substituir pelos valores dados nas questões ou apenas reduzir para logaritmos mais simples.

1º propriedade - Logaritmo de um produto

\log_a {xy} = \log_a x + \log_a y

2º propriedade - Logaritmo de um quociente

\log_a {\frac{x}{y}} = \log_a x – \log_a y

3º propriedade - Logaritmo de uma potência

\log_a {x^y} = y\log_a x

4º propriedade - Mudança de base

\log_y x = \frac{\log_z x}{\log_z y}

Propriedades Secundárias

Mesmo que bastante intuitivas ou pouco frequentes, tais propriedades possuem a sua importância e facilitarão o desenvolvimento dos cálculos.

Propriedade (a)

\log_a 1 = 0 e \log_a a = 1

Propriedade (b)

\log_a {\frac{1}{b}} =-\log_a b

Propriedade (c)

\frac{1}{\log_a b} =\frac{1}{\frac{\log_b b}{\log_b a}}=\frac{log_b a}{log_b b}=\log_b a

Questões de Logaritmo do Enem

1º Questão) A Lei de Zipf, batizada com o nome do linguista americano George Zipf, é uma lei empírica que relaciona a frequência (f) de uma palavra em um dado texto com o seu ranking (r). Ela é dada por

f = \frac{A}{r^b}

O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as palavras por ordem de frequência. Ou seja, r=1 para a palavra mais frequente, r=2 para a segunda palavra mais frequente e assim sucessivamente. A e B são constantes positivas.

Com base nos valores de X = log (r) e Y = log (f), é possível estimar valores para A e B. 

No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre Y e X é:

a) Y = log (A)-B\cdot X

b) Y=\frac{log (A)}{X+log (B)}

c) Y=\frac{log (A)}{B}-X

d) Y=\frac{log (A)}{B\cdot X}

e) Y=\frac{log (A)}{X^B}

Resolução

O primeiro passo consiste em reconhecer que é possível formar logaritmos em ambos os lados, veremos o porquê.

f=\frac{A}{r^B}
\log f =\log {\frac{A}{r^B}}
\log f = N = \log {\frac{A}{r^B}}

10^N= f e 10^N=\frac{A}{r^B}

portanto

f = \frac{A}{r^B}

Agora que já entendemos que é possível usar o log dos dois lados, vamos prosseguir com o desenvolvimento. 

\log f =\log {\frac{A}{r^B}}

Utilizando a segunda propriedade:

\log f =\log {A}- \log {r^B}

Usando a terceira propriedade:

\log f =\log {A}- B\log r

Substituindo log f por Y e log r por X, temos:

Y =\log {A}- B\cdot X

Logo, a alternativa correta é a letra A.

2º Questão) Charles Richter e Beno Gutenberg desenvolveram a escala Richter, que mede a magnitude de um terremoto. Essa escala pode variar de 0 a 10, com possibilidades de valores maiores. O quadro mostra a escala de magnitude local (M_s) de um terremoto que é utilizada para descrevê-lo.

Logaritmo para o Enem. questão

Para se calcular a magnitude local, usa-se a fórmula Ms = 3,30 + log(A⋅f), em que A representa a amplitude máxima da onda registrada por um sismógrafo em micrômetro (µm) e f representa a frequência da onda,
em hertz (Hz). Ocorreu um terremoto com amplitude máxima de 2 000 µm e frequência de 0,2 Hz. Utilize 0,3 como aproximação para log 2.

De acordo com os dados fornecidos, o terremoto ocorrido pode ser descrito como:

a) Pequeno

b) Ligeiro

c) Moderado

d) Grande

e) Extremo

Resolução

Dessa vez, a questão nos deu uma fórmula que já contém o logaritmo, o que precisamos fazer é substituir as variáveis pelo valores dados no enunciado e fazer as devidas operações:

M_s =3,3 + log {(Af)}

A amplitude máxima e a frequência já se encontram nas medidas adequadas, logo, basta substituir.

M_s =3,3 + log {(2000\cdot 0,2)}
=3,3 + log {(400)}
=3,3 + log {(4 \ cdot 100)}

Ao dividir o 400 em um produto, podemos transformar esse log numa soma de dois logaritmos.

=3,3 + log 4 + log 100

Utilizando a terceira fórmula:

=3,3 + log {2^2} + log 100
=3,3 + 2log 2 + log 100
=3,3 + 2log 2 + 2

Substituindo log 2 por 0,3, temos:

=3,3 + 2\cdot 0,3 + 2
M_s=5,9

A partir da tabela, vemos que a magnitude local foi moderada, portanto, a alternativa correta é a letra C.

Referências

DANTE, Luiz Roberto. Matemática. 1.ed .São Paulo: Ática:2005

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