Progressão Aritmética para o ENEM

Podemos definir uma progressão aritmética como uma sequência onde o cada termo é igual a soma do termo anterior mais um dado número padrão, que será chamado de razão. 

(a_1,a_1+r,a_1+2r+…)

Um exemplo de progressão aritmética seria:

(1,4,7,10,13…)

Que é uma progressão aritmética de razão 3 cujo primeiro termo é 1.

Fórmula da Progressão Aritmética

Transformando o raciocínio visto anteriormente em uma equação, dizemos que o termo geral da pa (progressão aritmética) é:

a_n=a_{1}+(n-1)\cdot r

A partir da fórmula, sabemos que o enésimo termo representa a soma entre o primeiro termo da pa e a razão correspondente.

Admitindo que o primeiro termo da pa é o termo 0, temos:

a_n=a_{0}+n\cdot r

As duas fórmulas são válidas e dependem da preferência do aluno.

Logo, a razão da progressão aritmética é dada pela diferença entre um certo termo da sequência e o seu anterior.

r=a_n-a_{n-1}

Exercícios de Progressão Aritmética

1º Questão) Encontre o termo geral da pa abaixo:

(-10,5,20,35)

Sabemos que a razão é dada pela diferença entre um termo e o seu anterior, por isso:

r=5-(-10)
r=15

Substituindo na fórmula do termo geral:

a_n=-10+(n-1)\cdot 15

2º Questão) Determine o 10º termo de uma progressão aritmética de razão 5 cujo segundo termo é -8.

Se o segundo termo é -8, sabemos que o primeiro termo é -13, logo, a partir da fórmula do termo geral da pa, temos:

a_{10}=-13+10\cdot 5
a_{10}=37

Soma Progressão Aritmética

O raciocínio por trás da soma dos termos de uma pa consiste em perceber que a soma entre o primeiro termo e o último termo é igual a soma do segundo termo pelo penúltimo e assim sucessivamente. Vamos a um exemplo sendo n o último termo.

(5,10,15,20,25,30)
a_1+a_n=5+30=35
a_2+a_{n-1}=10+25=35
a_3+a_{n-2}=15+20=35

Portanto, a soma dos termos dessa pa é 35\cdot 3=105. Que em resumo, é o produto entre a soma dada pelo primeiro e último termo e a metade do número de termos, ou seja:

S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}

Progressão Aritmética Enem

1º Questão) (Enem (Libras) 2017) A figura ilustra uma sequência de formas geométricas formadas por palitos, segundo uma certa regra. Continuando a sequência, segundo essa mesma regra, quantos palitos serão necessários para construir o décimo termo da sequência?

progressão aritmética. palitos

Continuando a sequência, segundo essa mesma regra, quantos palitos serão necessários para construir o décimo termo da sequência? 

 a) 30 

b) 39 

c) 40 

d) 43 

e) 57

Resolução

Sabemos que a primeira forma foi feita com 3 palitos, a segunda com 7 e a terceira com 11, ou seja, temos uma progressão aritmética de razão 4 cujo primeiro termo é 3.

a_n=3+(n-1)\cdot 4
a_{10}=3+(10-1)\cdot 4
a_{10}=3+(9)\cdot 4
a_{10}=3+36
a_{10}=39

Alternativa correta – Letra B

2º Questão)(Enem 2016) Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro. Qual é o número de andares desse edifício? 

a) 40 

b) 60 

c) 100 

d) 115 

e) 120

Resolução

Estudando a sequência, vemos que eles realizaram reparos juntos nos andares 1,7,13…

Vemos que essa sequência forma uma pa de razão 6 e tem seu primeiro termo igual a 1.

a_n=1+(n-1)\cdot 6

Sabendo que o último andar passou por reformas tanto de João quanto de Pedro e que 20 andares foram obtiveram reparos de ambos.

a_{20}=1+(20-1)\cdot 6
a_{20}=1+114
a_{20}=115

Alternativa correta – Letra D

3º Questão)(Enem 2013) As projeções para a produção de arroz no período de 2012– 2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

progressão aritmética. enem

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de
a) 497,25
b) 500,85
c) 502,87
d) 558,75
e) 563,25

Resolução

Razão:

a_{2013}-a_{2012}=1,25

Produção em 2021:

a_{2021}=a_{2012}+(n-2012)\cdot 1,25
a_{2021}=50,25+(2021-2012)\cdot 1,25
a_{2021}=50,25+9\cdot 1,25
a_{2021}=50,25+11,25
a_{2021}=61,50

Soma dos termos da progressão aritmética:

S_n=\frac{10(50,25+61,50)}{2}
S_n=\frac{10(111.75)}{2}
S_n=558,75

Alternativa correta – Letra D

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