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Função Exponencial

Função Exponencial

Chama-se função exponencial, uma função:

Ou seja, cujo domínio seja representado por todos os números reais e o contradomínio representado por todos os números reais positivos e diferentes de zero, tal que f(n) = aⁿ para todo n ∈ IR , quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1, pois, sendo igual 1, todos os valores de f(n) seriam iguais a 1, contrariando a ideia de função.

Função Exponencial Exemplos

função exponencial. exemplos de funções exponenciais

Gráfico da Função Exponencial

f(n) = 2ⁿ

função exponencial. gráfico

f(n) = (1/10)ⁿ

função exponencial. gráfico

Percebemos visualmente através dos gráficos o que já discutimos sobre o contradomínio, os valores de f(n) são sempre positivos e diferentes de 0, pois não há número real que eleve outro número real resultando em 0, sendo assim ocupa sempre os quadrantes de cima, ou melhor, o primeiro e o segundo quadrante.

Todo gráfico de função exponencial intercepta o ponto (0,1), porque todo número elevado a 0 é igual a 1.

Função Exponencial Crescente e Decrescente

Uma função é descrita como crescente quando, aumentados os valores de n, o valor de f(n) também aumenta, o que acontece somente quando a > 1, pois dois números menores que 1, quando multiplicados, geram um valor ainda menor, o que pode ser visto no segundo gráfico, que representa f(n) = (1/10)ⁿ. 

Exemplo de Função Decrescente

 f(n) = (1/10)ⁿ

f(0) = (1/10)⁰ = 1

f(1) = (1/10)¹ = 0,1

f(2) = (1/10)² = 0,01

Exemplo de Função Crescente

f(n) = 2ⁿ

f(0) = 2⁰ = 1

f(1) = 2¹ = 2

f(2) = 2² = 4

Equações Exponenciais e Sistemas

A resolução de equações exponenciais é feita escrevendo-se ambos os lados da igualdade como potências de mesma base, como nos exemplos abaixo:

10^n = 1000\leftrightarrow10^n = 10^3 \to n = 3
2^n = 32\leftrightarrow2^n = 2^5 \to n = 5
5^n = 1\leftrightarrow5^n = 5^0 \to n = 0

Esse raciocínio será usado para resolver questões mais complexas e que envolvam sistemas.

Exercícios Resolvidos

(Questão 1) Calcular x e y no sistema de equações abaixo:

\left\{\begin{matrix} 2^{x+2y}=64 \\5^x \cdot 0,2^y=125 \end{matrix}\right.

O primeiro passo é transformar os dois lados da igualdade em potências de mesma base. Na primeira equação, optaremos por potências de base 2, enquanto na segunda optaremos por potências de base 5.

\left\{\begin{matrix} 2^{x+2y}=2^6 \\5^x \cdot {(\frac{1}{5})}^y=5^3 \end{matrix}\right.
\to\left\{\begin{matrix} 2^{x+2y}=2^6 \\5^x \cdot 5^-y=5^3 \end{matrix}\right.
\to\left\{\begin{matrix} 2^{x+2y}=2^6 \\5^{x-y}=5^3 \end{matrix}\right.
\to\begin{matrix} (1)\\(2) \end{matrix}\left\{\begin{matrix} x+2y=6\\x-y=3 \end{matrix}\right.

Igualando os expoente acabamos por chegar, no quarto desenvolvimento, a um novo sistema, onde é possível encontrar os valores de x e y. Substituindo a equação (2) na equação (1), temos:

3+y+2y=6
3y=3
y=1

Agora, iremos substituir o valor de y na equação (1) a fim de encontrar o valor de x

x+2 = 6
x=4

Chegamos ao par ordenado (4,1) como solução do nosso sistema.

Algumas questões exige que façamos algumas substituições um pouco mais complexas, o que veremos agora.

(Questão 2) Resolva a equação:

Inicialmente, iremos colocar todas as potências na mesma base. A partir do resultado, percebemos que a equação possui a estrutura de uma equação do segundo grau quando isolamos o expoente x do segundo termo a partir da propriedade da potência de uma potência. Sabendo disso, iremos dizer que y é igual a 10 elevado a x.

Encontramos o valor das raízes, ou seja, os valores de y.

Por último, iremos igualar as raízes a 10 elevado a x e analisar o resultados.

Das duas raízes, só uma é validade, pois toda potência de número positivo é também positiva, logo, o único valor para x será o logaritmo de 4 na base 10.

Referências

BARROSO, Juliana Matsubara. Conexões com a Matemática. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2010

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. 1. ed. 3 vol. São Paulo: Ática, 2010.

Sugestões

3 - Monte você mesmo os seus gráficos - GeoGebra

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