É entendendo o vértice da parábola que podemos entender parte do comportamento das equações do segundo grau.
O vértice de uma parábola representa o ponto máximo ou mínimo de uma função quadrática. Mais especificamente, o y do vértice representa o valor máximo ou mínimo que pode chegar a parábola, enquanto o x do vértice é o valor do termo independente que dá a função esse valor.
Em outras palavras, o vértice é o ponto onde a função encontra o seu limite, e pode ser determinado a partir das seguintes fórmulas:
Mas como chegar até elas?
Demonstração do Vértice da Parábola
Inicialmente, iremos colocar a nossa função quadrática na sua forma canônica, veremos como:
Primeiro passo: escrever a equação genérica da função quadrática, pois todas as demais informações partem dela, e então isolar o a:
Com um pouco de atenção, percebemos que os dois primeiros termos dentro do parênteses são parte do quadrado de uma soma, que esta descrita abaixo:
Atentem-se ao fato de que os dois primeiros termos do lado direito da igualdade são os termos que aparecem na nossa equação do segundo grau. A partir dessa constatação, iremos fazer aparecer na nossa na equação o terceiro termo, aquele que falta para formar o quadrado da soma. Para isso, iremos somá-lo e subtraí-lo como vemos abaixo, fazendo com que a igualdade continue sendo respeitada.
Tomei o segundo lado como uma subtração apenas por conveniência, para que o termo seja escrito como o conhecido △ (delta) visto na fórmula de bhaskara.
Temos agora dois termos dentro dos colchetes, e percebam, apenas o termo da esquerda possui o valor de x, ou seja, é variável e sempre positivo, pois é um quadrado. Enquanto o segundo termo é constante, pois possui apenas os valores de a,b e c.
Já que temos o primeiro termo variando sempre em uma direção e o segundo termo constante, podemos dizer que o valor mínimo ou máximo alcançado será sempre dado pelo termo da direita sem qualquer contribuição do da esquerda.
Resumindo, a função terá seu ponto máximo quando o termo da esquerda for igual a zero, portanto:
Tomando o primeiro termo como igual a zero, temos que o valor de f(x) é:
sendo f(x) = y, encontramos as coordenadas do vértice da parábola.
As associações servem independente da concavidade, já que um valor negativo de a, irá fazer o primeiro termo contribuir negativamente.
É a partir dessas associações que podemos determinar as coordenadas do vértice.
Concavidade
A parábola, que representa o gráfico de uma equação do segundo grau, assemelhasse a um U, sendo assim, ele pode estar virado para cima ou para baixo, tudo depende do valor de a (termo que acompanha o x²).
Caso o valor de a seja maior que 0, então, a concavidade estará voltada para para cima, pois os valores de y tenderão a crescer quanto mais x se distanciar de 0, o que pode ser facilmente visto ao voltarmos ao momento onde a acompanha o quadrado de uma soma, pois, lembremos, um quadrado é sempre positivo, logo, o que irá determinar o sinal do termo é o valor de a.
Caso o valor de a seja negativo, consequentemente, teremos uma concavidade volta para baixo, pois os valores do primeiro termo serão sempre negativos, ou seja, os valores de y crescem para direção negativa do eixo, ou seja, para baixo.
Exemplos
Abaixo exemplifica-se o uso das fórmulas e o que representarão em cada caso.
1º Exemplo
x^2-2x+1 (a > 0 ponto mínimo)
2º Exemplo
-2x^2+8x+3 (a < 0 ponto máximo)
Imagem da Função Quadrática e o Vértice da Parábola
Ainda não entende o conceito de imagem da função? Clique aqui.
Vemos que o vértice da parábola representa ou seu ponto mínimo ou máximo, portanto, podemos deduzir disso que há um limite para os possíveis valores de y. Sendo assim, dizemos que o conjunto imagem são todos os valores menores que o ponto máximo ou maiores que o ponto mínimo.
Exemplos:
a) f(x) = x² + 8x + 1
A função acima tem seu valor mínimo definido pelo par ordenado (-4, -15) e, por consequência, tem a sua imagem definida da seguinte forma:
Im(f) = { y ∈ R | y ≥ -15}
b) h(x) = – 3x² + 8
Já essa parábola tem seu x do vértice igual a zero, pois o valor de b é igual a zero, logo, o y do vértice é o termo independente, sendo assim, temos:
Im(h) = { y ∈ R | y ≤ 8}
Que tem y menor ou igual a 8 pois esse valor representa o ponto máximo da função, já que o valor de a é negativo.
Vértice da Parábola Exercícios
1º Questão
Qual o par ordenado que representa o x do vértice e o y do vértice da função quadrática f(x) = 2x² + 4x ?
O valor mínimo da função é -2, que corresponde ao y do vértice, e o valor de x quando y tem seu menor valor é -1, logo, o par ordenado que representa esse ponto é (-1,-2).
x do vértice = -1
y do vértice = -2
Uma outra maneira de encontrar o valor mínimo é substituir o valor de x do vértice na equação.
2º Questão
Encontre o vértice da parábola para f(x) = x² + 8.
Utilizando as equações para encontrar o vértice, vemos que ele é representado pelo par ordenado (0,8). Como veremos mais a frente, são valores que podem ser conhecidos sem o uso de cálculos.
Quando b for igual a 0, obrigatoriamente, o x do vértice será 0, logo, o ponto máximo ou mínimo será o termo independente.
3º Questão
Encontre a coordenada x do vértice sendo g(x) = – 5x² + 1x + 8
Caso queiram averiguar cada proposição através do gráfico, basta acessarem o site do geogebra clicando no link. Clique aqui.
Partindo do sinal presente na fórmula, vemos que, sempre que os sinais de a e b forem contrários, o vértice da parábola irá se encontrar no 1º ou no 4º quadrante, pois representam valores positivos para x, enquanto que sendo iguais irá pertencer ao 2º ou 3º quadrante
4º Questão
Determine se a concavidade está para cima ou se a concavidade da parábola está para baixo a partir das funções abaixo e, com isso, determine se o y do vértice representa o valor máximo ou mínimo da função.
(a) g(x) = – 3x² – 7
(b) h(x) = x² + 5x
(c) g(x) = – x² + 2x + 8
(a) o valor de a é igual a -3, um número negativo, portanto, a concavidade está virada para baixo. O y do vértice representa o valor máximo da função.
(b) na segunda função, o número que acompanha x² é 1, ou seja, um número positivo, ou seja, concavidade para cima. O y do vértice representa o valor mínimo da função.
(c) na última função, o valor de a equivale a -1, logo, podemos dizer que a função possui valor máximo, ou seja, concavidade para baixo. O y do vértice representa o valor máximo da função.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática. 1.ed .São Paulo: Ática, 2005.
BARROSO, Juliana Matsubara. Conexões com a Matemática. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2010