Matemática Financeira para o ENEM
A matemática financeira para o ENEM trata basicamente da aplicação dos juros simples e compostos em questões que exigem o acréscimo ou o desconto de valores monetários.
Porcentagem
O conceito de porcentagem nos dá a possibilidade de saber quanto o valor de um número corresponde a outro, por exemplo, quando vamos comprar um produto, e ao pagarmos à vista ele possui 10% de desconto, sabemos que esse valor corresponde a 10% sobre o preço do produto.
Podemos escrevê-la de duas maneiras, a primeira é em porcentagem utilizando o símbolo %, que corresponde ao produto entre 100 e a razão entre os dois valores:
Ou em forma de taxa percentual, onde apenas dividimos um número pelo valor de referência.
Dessa maneira, para encontrar a parte a qual corresponde uma certa porcentagem, basta multiplicar a taxa percentual pelo valor total, ou o valor de referência. Voltando ao exemplo do desconto, caso o preço do produto fosse de R$2000,00, de quanto seria o desconto?
E quanto deveria ser pago pelo cliente?
Caso ainda não tenha estudado acréscimos e descontos. Clique aqui.
Além dos conceitos de acréscimos e descontos, espera-se que o aluno saiba os conceitos de juros simples e juros compostos.
Juros Simples
Há juros simples sempre que todos os acréscimos forem dados sobre o valor inicial e, por isso, um valor sobre o qual incide juros simples possui a seguinte fórmula de montante.
M = montante juros simples
C = capital ou valor inicial
i = taxa de juro
t = tempo
Vejamos como demonstrar na prática.
Exemplo – Qual o montante referente a um capital de R$2500,00 aplicado a juros simples durante 3 meses a uma taxa de juros de 4% ao mês?
Sabemos que cada acréscimo é dado sempre sobre o valor inicial, logo:
Agora, basta multiplicar o capital inicial aos acréscimos.
Deixando os acréscimos como produtos, temos:
A partir daqui, entendemos porque na fórmula de juros simples a taxa é multiplicada pelo tempo, pois os acréscimos são sempre iguais.
Juros Simples no ENEM
1º Questão) Deseja-se comprar determinado produto e, após uma pesquisa de preços, o produto foi encontrado em 5 lojas diferentes, a preços variados.
– Loja 1: 20% de desconto, que equivale a R$720,00, mais R$70,00 de frete;
– Loja 2: 20% de desconto, que equivale a R$740,00, mais R$50,00 de frete;
– Loja 3: 20% de desconto, que equivale a R$760,00, mais R$80 de frete;
– Loja 4: 15% de desconto, que equivale a R$710,00, mais R$ 10,00 de frete;
– Loja 5: 15% de desconto, que equivale a R$690,00, sem custo de frete;
O produto foi comprado na loja que apresentou o menor preço total.
O produto foi adquirido na loja
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Resolução
Sabemos que o valor pago na compra é igual ao valor do produto com desconto somado ao valor do frete. O valor do produto sem desconto é :
C \cdot i = d
C = \frac{d}{i}
Valor do produto com desconto mais o frete:
V_p = \frac{d}{i} – d + f
Loja 1
V_p = \frac{720}{0,2} – 720 + 70
V_p = 2950
Loja 2
V_p = \frac{740}{0,2} – 740 + 50
V_p = 3010
Loja 3
V_p = \frac{760}{0,2} – 760 + 80
V_p = 3120
Loja 4
V_p = \frac{710}{0,15} – 710 + 10
V_p = 4033
Loja 5
V_p = \frac{690}{0,15} – 690 + 10
V_p = 3910
Conclui-se que o produto foi comprado na loja 1, ou seja, a alternativa correta é a A.
2º Questão) A conta de telefone de uma loja foi, nesse mês, de R$200,00. O valor da assinatura mensal, já incluso na conta, é de R$40,00, o qual dá direito a realizar uma quantidade ilimitada de ligações locais para telefone fixos. As ligações para celulares são tarifadas separadamente. Nessa loja, são feitas somente ligações locais, tanto para telefones fixos quanto para celulares. Para reduzir os custos, o gerente planeja, para o próximo mês, uma conta de telefone com valor de R$80,00.
Para que esse planejamento se cumpra, a redução percentual com gastos em ligações para celulares nessa loja deverá ser de
a) 25%
b) 40%
c) 50%
d) 60%
e) 75%
Resolução
Sabemos que foi gasto 200-40=160 em ligações para celulares e é preciso chegar a 80-40=40
Sabemos que foi gasto em ligações R$ 160,00, pois, dos R$200,00, R$40,00 é fixo. Quando a conta passar a ser de R$80,00, será gasto R$40,00 em ligações. Usaremos o conceito de desconto para saber quantos por cento os R$160 devem ser reduzidos.
Ou seja, deve haver uma redução de 75% nos gastos com ligações. Alternativa correta – LETRA E.
Juros Compostos
Diferente dos juros simples, que incidiam sobre o valor inicial, os juros compostos incidem sobre o o período anterior, ou seja, ano, mês, dia, semestre…
Em juros compostos, determinamos o valor futuro por:
Vamos provar a fórmula na prática.
Exemplo – No regime de juros compostos, um capital de R$2500,00 é aplicado durante 3 meses a uma taxa de juros de 4% ao mês. Determine o montante.
E se ao invés de calcularmos passo a passo, calculássemos de uma só vez?
E caso quiséssemos apenas o juro?
J_3 = 312,16/katex]
Juros Compostos no ENEM
1º Questão) Uma pessoa fez um depósito inicial de R$200,00 em um Fundo de Investimentos que possui rendimento constante sob juros compostos de 5% ao mês. Esse Fundo possui cinco plano de carência (tempo mínimo necessário de rendimento do Fundo sem movimentação do cliente). Os planos são:
– Plano A: carência de 10 meses;
– Plano B: carência de 15 meses;
– Plano C: carência de 20 meses;
– Plano D: carência de 28 meses;
– Plano E: carência de 40 meses;
O objetivo dessa pessoa é deixar essa aplicação rendendo até que o valor inicialmente aplicado duplique quando somado aos juros do Fundo. Considere as aproximações: log 2 = 0,30 e log 1,05 = 0,02.
Para que essa pessoa atinja seu objetivo apenas no período de carência, mas com a menor carência possíve, deverá optar pelo plano
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
Resolução
O primeiro passo é desenvolver a fórmula do montante para juros compostos.
O montante deve corresponder ao dobro do valor investido, ou seja, M = 2C
Caso não entenda como aplicar logaritmo nessa situação. Clique aqui.
tomando log em ambos os lados:
Utilizando a terceira propriedade do logaritmo:
Substituindo os valores dados no enunciado:
Portanto, a pessoa deve escolher o plano B, ou seja, alternativa correta – LETRA B.